1. El problema pide determinar el dominio y rango de la función $$y=\frac{[x]}{|x|}$$ donde $[x]$ es la función parte entera y $|x|$ es el valor absoluto de $x$. 2. Para el dominio, recordamos que $|x|$ no puede ser cero porque está en el denominador, por lo que $x \neq 0$. 3. La función parte entera $[x]$ está definida para todos los reales, así que el dominio es $\{x \in \mathbb{R} : x \neq 0\}$. 4. Para el rango, analizamos el valor de $y$: - Si $x > 0$, entonces $|x| = x$ y $[x]$ es un entero $\geq 0$ (puede ser 0, 1, 2, ...). - Si $x < 0$, entonces $|x| = -x$ y $[x]$ es un entero $\leq -1$ (porque para negativos la parte entera es el entero menor o igual). 5. Evaluamos para $x > 0$: $$y = \frac{[x]}{|x|} = \frac{[x]}{x}$$ - Para $0 < x < 1$, $[x] = 0$, entonces $y=0$. - Para $x \geq 1$, $[x]$ es un entero positivo, y $y = \frac{[x]}{x}$ está entre $\frac{n}{n} = 1$ y $\frac{n}{n+1} < 1$, así que $y$ está en $(0,1]$. 6. Para $x < 0$: $$y = \frac{[x]}{|x|} = \frac{[x]}{-x}$$ - Aquí $[x]$ es un entero negativo o cero, pero para $x<0$, $[x] \leq -1$. - Por ejemplo, para $-1 < x < 0$, $[x] = -1$, entonces $y = \frac{-1}{|x|} = \frac{-1}{-x} = -\frac{1}{x}$, que es negativo y tiende a $-\infty$ cuando $x \to 0^-$. - Para valores más negativos, $y$ es negativo y su valor absoluto decrece. 7. Por lo tanto, el rango es $(-\infty, 0] \cup (0,1]$. 8. Resumen: - Dominio: $\{x \in \mathbb{R} : x \neq 0\}$ - Rango: $(-\infty, 0] \cup (0,1]$ 9. La gráfica muestra una función discontinua en $x=0$, con valores positivos para $x>0$ y negativos para $x<0$.