1. Planteamos el problema: Resolver la ecuación $$\frac{2x - 3}{x - 3} + \left|\begin{matrix} x & -3 \\ 2 & x \end{matrix}\right| = 1$$ donde el determinante de la matriz es $$x \cdot x - (-3) \cdot 2 = x^2 + 6$$. 2. Escribimos la ecuación con el determinante calculado: $$\frac{2x - 3}{x - 3} + x^2 + 6 = 1$$ 3. Restamos 1 a ambos lados para igualar a cero: $$\frac{2x - 3}{x - 3} + x^2 + 6 - 1 = 0$$ $$\frac{2x - 3}{x - 3} + x^2 + 5 = 0$$ 4. Multiplicamos toda la ecuación por $x - 3$ para eliminar el denominador (considerando $x \neq 3$): $$\cancel{(x - 3)} \cdot \frac{2x - 3}{\cancel{x - 3}} + (x^2 + 5)(x - 3) = 0 \cdot (x - 3)$$ $$2x - 3 + (x^2 + 5)(x - 3) = 0$$ 5. Expandimos el producto: $$(x^2 + 5)(x - 3) = x^3 - 3x^2 + 5x - 15$$ 6. Sumamos todos los términos: $$2x - 3 + x^3 - 3x^2 + 5x - 15 = 0$$ $$x^3 - 3x^2 + (5x + 2x) - 3 - 15 = 0$$ $$x^3 - 3x^2 + 7x - 18 = 0$$ 7. Tenemos la ecuación cúbica: $$x^3 - 3x^2 + 7x - 18 = 0$$ 8. Probamos posibles raíces racionales usando el teorema del residuo (divisores de 18): $\pm1, \pm2, \pm3, \pm6, \pm9, \pm18$. Probamos $x=2$: $$2^3 - 3(2)^2 + 7(2) - 18 = 8 - 12 + 14 - 18 = -8 \neq 0$$ Probamos $x=3$: $$3^3 - 3(3)^2 + 7(3) - 18 = 27 - 27 + 21 - 18 = 3 \neq 0$$ Probamos $x=1$: $$1 - 3 + 7 - 18 = -13 \neq 0$$ Probamos $x=6$: $$216 - 108 + 42 - 18 = 132 \neq 0$$ Probamos $x= -1$: $$-1 - 3 - 7 - 18 = -29 \neq 0$$ Probamos $x= -2$: $$-8 - 12 - 14 - 18 = -52 \neq 0$$ Probamos $x= -3$: $$-27 - 27 - 21 - 18 = -93 \neq 0$$ Probamos $x=9$: $$729 - 243 + 63 - 18 = 531 \neq 0$$ 9. No encontramos raíces racionales simples, por lo que usamos la fórmula general para ecuaciones cúbicas o métodos numéricos para aproximar las raíces. 10. Además, recordamos que $x \neq 3$ porque el denominador original no puede ser cero. Respuesta final: La solución es el conjunto de raíces reales de $$x^3 - 3x^2 + 7x - 18 = 0$$ con $x \neq 3$. Para graficar y explorar las raíces, se puede usar software de álgebra computacional.