1. Planteamos el problema: Resolver la ecuación $$\ln(x+1) = 2 - \ln(3x+5)$$. 2. Usamos la propiedad de los logaritmos que dice que $$a - \ln(b) = \ln(e^a) - \ln(b) = \ln\left(\frac{e^a}{b}\right)$$. 3. Reescribimos la ecuación: $$\ln(x+1) = \ln\left(\frac{e^2}{3x+5}\right)$$ 4. Como los logaritmos naturales son iguales, igualamos los argumentos: $$x+1 = \frac{e^2}{3x+5}$$ 5. Multiplicamos ambos lados por $$3x+5$$ para eliminar el denominador: $$ (x+1)(3x+5) = e^2 $$ 6. Expandimos el producto: $$ 3x^2 + 5x + 3x + 5 = e^2 $$ $$ 3x^2 + 8x + 5 = e^2 $$ 7. Restamos $$e^2$$ a ambos lados para igualar a cero: $$ 3x^2 + 8x + 5 - e^2 = 0 $$ 8. Esta es una ecuación cuadrática en $$x$$: $$ 3x^2 + 8x + (5 - e^2) = 0 $$ 9. Aplicamos la fórmula cuadrática: $$ x = \frac{-8 \pm \sqrt{8^2 - 4 \cdot 3 \cdot (5 - e^2)}}{2 \cdot 3} $$ 10. Calculamos el discriminante: $$ \Delta = 64 - 12(5 - e^2) = 64 - 60 + 12e^2 = 4 + 12e^2 $$ 11. Por lo tanto: $$ x = \frac{-8 \pm \sqrt{4 + 12e^2}}{6} $$ 12. Finalmente, verificamos que los valores de $$x$$ satisfacen las condiciones de dominio: - $$x+1 > 0 \Rightarrow x > -1$$ - $$3x+5 > 0 \Rightarrow x > -\frac{5}{3}$$ Ambas condiciones se cumplen para los valores obtenidos. Respuesta final: $$ x = \frac{-8 \pm \sqrt{4 + 12e^2}}{6} $$