1. Problema c: Resolver la ecuación $$3^{2x-1} - 3^x = 5$$. 2. Problema d: Resolver la ecuación $$2^{x-1} + 2^{1-x} = \frac{5}{4}$$. 3. Problema e: Resolver la ecuación $$2 + 2^{x+1} + 2^{x-1} = 32$$. 4. Problema f: No se especifica en el mensaje, por lo que no se resolverá. --- ### Problema c 1. Dada la ecuación $$3^{2x-1} - 3^x = 5$$, queremos encontrar $x$. 2. Usamos la propiedad de potencias: $$3^{2x-1} = 3^{2x} \cdot 3^{-1} = \frac{3^{2x}}{3}$$. 3. Reescribimos la ecuación: $$\frac{3^{2x}}{3} - 3^x = 5$$ 4. Multiplicamos ambos lados por 3 para eliminar el denominador: $$3^{2x} - 3 \cdot 3^x = 15$$ 5. Sea $t = 3^x$, entonces $3^{2x} = (3^x)^2 = t^2$. 6. La ecuación queda: $$t^2 - 3t = 15$$ 7. Pasamos todo a un lado: $$t^2 - 3t - 15 = 0$$ 8. Resolvemos la cuadrática usando la fórmula: $$t = \frac{3 \pm \sqrt{(-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-15)}}{2} = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 60}}{2} = \frac{3 \pm \sqrt{69}}{2}$$ 9. Como $t = 3^x > 0$, descartamos la solución negativa: $$t = \frac{3 + \sqrt{69}}{2}$$ 10. Finalmente, despejamos $x$: $$x = \log_3 \left( \frac{3 + \sqrt{69}}{2} \right)$$ --- ### Problema d 1. Dada la ecuación $$2^{x-1} + 2^{1-x} = \frac{5}{4}$$. 2. Multiplicamos ambos lados por $2^x$ y dividimos por 2 para simplificar: $$\frac{2^{x+x-1} + 2^x \cdot 2^{1-x}}{2} = \frac{5}{4} \cdot 2^x \cdot \frac{1}{2}$$ 3. Simplificamos potencias: $$\frac{2^{2x-1} + 2}{2} = \frac{5}{4} 2^x$$ 4. Multiplicamos ambos lados por 2: $$2^{2x-1} + 2 = \frac{5}{2} 2^x$$ 5. Multiplicamos ambos lados por 2 para eliminar el exponente -1: $$2^{2x} + 4 = 5 2^x$$ 6. Sea $t = 2^x$, entonces $2^{2x} = t^2$. 7. La ecuación queda: $$t^2 + 4 = 5t$$ 8. Pasamos todo a un lado: $$t^2 - 5t + 4 = 0$$ 9. Resolvemos la cuadrática: $$t = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 16}}{2} = \frac{5 \pm 3}{2}$$ 10. Soluciones para $t$: $$t_1 = 4, \quad t_2 = 1$$ 11. Despejamos $x$: $$x_1 = \log_2 4 = 2, \quad x_2 = \log_2 1 = 0$$ --- ### Problema e 1. Dada la ecuación $$2 + 2^{x+1} + 2^{x-1} = 32$$. 2. Reescribimos las potencias: $$2 + 2 \cdot 2^x + \frac{2^x}{2} = 32$$ 3. Simplificamos: $$2 + 2 \cdot 2^x + 0.5 \cdot 2^x = 32$$ 4. Sumamos términos con $2^x$: $$2 + 2.5 \cdot 2^x = 32$$ 5. Restamos 2 de ambos lados: $$2.5 \cdot 2^x = 30$$ 6. Dividimos ambos lados por 2.5: $$2^x = \frac{30}{2.5} = 12$$ 7. Despejamos $x$: $$x = \log_2 12$$ --- ### Resumen de soluciones - c) $$x = \log_3 \left( \frac{3 + \sqrt{69}}{2} \right)$$ - d) $$x = 2 \text{ o } x = 0$$ - e) $$x = \log_2 12$$ No se especificó problema f, por lo que no se resolvió.