1. **Planteamiento del problema:** Resolver las ecuaciones: a) $4^x = 5^{2x+1}$ b) $\log_6(2x) - \log_6(x+1) = 0$ --- 2. **Ecuación a) $4^x = 5^{2x+1}$:** - Usamos propiedades de potencias y logaritmos para despejar $x$. - Tomamos logaritmo natural en ambos lados: $$\ln(4^x) = \ln(5^{2x+1})$$ - Aplicamos la propiedad $\ln(a^b) = b \ln(a)$: $$x \ln(4) = (2x + 1) \ln(5)$$ - Expandimos el lado derecho: $$x \ln(4) = 2x \ln(5) + \ln(5)$$ - Pasamos términos con $x$ a un lado: $$x \ln(4) - 2x \ln(5) = \ln(5)$$ - Factorizamos $x$: $$x (\ln(4) - 2 \ln(5)) = \ln(5)$$ - Despejamos $x$: $$x = \frac{\ln(5)}{\ln(4) - 2 \ln(5)}$$ - Para simplificar, usamos la cancelación visual: $$x = \frac{\ln(5)}{\cancel{\ln(4)} - 2 \cancel{\ln(5)}}$$ (No se cancelan términos porque no son iguales, solo mostramos la estructura para explicar la división.) - Resultado final: $$x = \frac{\ln(5)}{\ln(4) - 2 \ln(5)}$$ --- 3. **Ecuación b) $\log_6(2x) - \log_6(x+1) = 0$:** - Usamos la propiedad de logaritmos: $\log_a(b) - \log_a(c) = \log_a\left(\frac{b}{c}\right)$ - Aplicamos la propiedad: $$\log_6\left(\frac{2x}{x+1}\right) = 0$$ - Sabemos que $\log_a(y) = 0$ implica $y = 1$. - Entonces: $$\frac{2x}{x+1} = 1$$ - Multiplicamos ambos lados por $x+1$: $$2x = x + 1$$ - Restamos $x$ de ambos lados: $$2x - x = 1$$ - Simplificamos: $$x = 1$$ - Verificamos que $x=1$ sea válido en el dominio (los argumentos de logaritmos deben ser positivos): $2x = 2(1) = 2 > 0$ y $x+1 = 1+1=2 > 0$, válido. --- **Respuesta final:** - a) $$x = \frac{\ln(5)}{\ln(4) - 2 \ln(5)}$$ - b) $$x = 1$$