1. Resolver la ecuación racional $\frac{3}{x-2} = \frac{2}{x+3}$. 2. Identificar los valores no permitidos: $x \neq 2$ y $x \neq -3$ porque hacen que el denominador sea cero. 3. Multiplicamos cruzado para eliminar denominadores: $$3(x+3) = 2(x-2)$$ 4. Expandimos ambos lados: $$3x + 9 = 2x - 4$$ 5. Restamos $2x$ de ambos lados: $$3x - \cancel{2x} + 9 = \cancel{2x} - 4 \implies x + 9 = -4$$ 6. Restamos 9 de ambos lados: $$x + \cancel{9} = -4 - \cancel{9} \implies x = -13$$ 7. Verificamos que $x = -13$ no sea un valor no permitido, y no lo es. --- 1. Resolver la ecuación racional $\frac{2x+3}{5x-1} = \frac{6x+4}{15x+2}$. 2. Identificar valores no permitidos: $5x-1 \neq 0 \Rightarrow x \neq \frac{1}{5}$ y $15x+2 \neq 0 \Rightarrow x \neq -\frac{2}{15}$. 3. Multiplicamos cruzado: $$(2x+3)(15x+2) = (6x+4)(5x-1)$$ 4. Expandimos ambos lados: $$30x^2 + 4x + 45x + 6 = 30x^2 - 6x + 20x - 4$$ Simplificamos términos semejantes: $$30x^2 + 49x + 6 = 30x^2 + 14x - 4$$ 5. Restamos $30x^2$ de ambos lados: $$\cancel{30x^2} + 49x + 6 = \cancel{30x^2} + 14x - 4 \implies 49x + 6 = 14x - 4$$ 6. Restamos $14x$ de ambos lados: $$49x - \cancel{14x} + 6 = \cancel{14x} - 4 \implies 35x + 6 = -4$$ 7. Restamos 6 de ambos lados: $$35x + \cancel{6} = -4 - \cancel{6} \implies 35x = -10$$ 8. Dividimos ambos lados entre 35: $$x = \frac{-10}{35} = \frac{-2}{7}$$ 9. Verificamos que $x = -\frac{2}{7}$ no sea un valor no permitido, y no lo es. --- 1. Resolver el sistema de ecuaciones: $$\begin{cases} x + y = 3 \\ x^2 + x - y + 3 = 0 \end{cases}$$ 2. De la primera ecuación despejamos $y$: $$y = 3 - x$$ 3. Sustituimos en la segunda ecuación: $$x^2 + x - (3 - x) + 3 = 0$$ 4. Simplificamos: $$x^2 + x - 3 + x + 3 = 0 \implies x^2 + 2x = 0$$ 5. Factorizamos: $$x(x + 2) = 0$$ 6. Soluciones para $x$: $$x = 0 \quad \text{o} \quad x = -2$$ 7. Calculamos $y$ para cada $x$: - Si $x=0$, entonces $y = 3 - 0 = 3$ - Si $x=-2$, entonces $y = 3 - (-2) = 5$ 8. Soluciones del sistema: $$(0, 3) \quad \text{y} \quad (-2, 5)$$ --- 1. Resolver el sistema de ecuaciones: $$\begin{cases} 2x + y = -8 \\ x^2 + 2x + y = -7 \end{cases}$$ 2. De la primera ecuación despejamos $y$: $$y = -8 - 2x$$ 3. Sustituimos en la segunda ecuación: $$x^2 + 2x + (-8 - 2x) = -7$$ 4. Simplificamos: $$x^2 + 2x - 8 - 2x = -7 \implies x^2 - 8 = -7$$ 5. Sumamos 8 a ambos lados: $$x^2 = 1$$ 6. Soluciones para $x$: $$x = 1 \quad \text{o} \quad x = -1$$ 7. Calculamos $y$ para cada $x$: - Si $x=1$, entonces $y = -8 - 2(1) = -8 - 2 = -10$ - Si $x=-1$, entonces $y = -8 - 2(-1) = -8 + 2 = -6$ 8. Soluciones del sistema: $$(1, -10) \quad \text{y} \quad (-1, -6)$$