1. Edades Familiares Problema: El padre tiene 3 veces la edad del hijo. En 5 años tendrá el doble de la edad que el hijo tendrá entonces. Encuentra sus edades actuales. 1. Definimos variables: Sea $x$ la edad actual del hijo. Entonces la edad del padre es $3x$. 2. En 5 años: Edad del hijo será $x + 5$. Edad del padre será $3x + 5$. 3. Planteamos la ecuación según el problema: $$3x + 5 = 2(x + 5)$$ 4. Resolvemos la ecuación: $$3x + 5 = 2x + 10$$ $$3x - 2x = 10 - 5$$ $$x = 5$$ 5. Por lo tanto: Edad del hijo = 5 años. Edad del padre = $3 \times 5 = 15$ años. Respuesta final: El hijo tiene 5 años y el padre 15 años. 2. Viaje en Tren Problema: Un tren recorre 300 km a velocidad constante. Si viaja 10 km/h más rápido, llega 1 hora antes. Encuentra la velocidad original. 1. Definimos variables: Sea $v$ la velocidad original en km/h. Tiempo original: $\frac{300}{v}$ horas. 2. Nueva velocidad y tiempo: Velocidad nueva: $v + 10$ km/h. Tiempo nuevo: $\frac{300}{v + 10}$ horas. 3. Según el problema: $$\frac{300}{v} = \frac{300}{v + 10} + 1$$ 4. Resolvemos: Multiplicamos ambos lados por $v(v+10)$ para eliminar denominadores: $$300(v + 10) = 300v + v(v + 10)$$ Pero es más sencillo hacer paso a paso: $$\frac{300}{v} - \frac{300}{v + 10} = 1$$ $$300 \left( \frac{v + 10 - v}{v(v + 10)} \right) = 1$$ $$300 \left( \frac{10}{v(v + 10)} \right) = 1$$ $$\frac{3000}{v(v + 10)} = 1$$ $$v(v + 10) = 3000$$ $$v^2 + 10v - 3000 = 0$$ 5. Resolviendo la cuadrática: $$v = \frac{-10 \pm \sqrt{10^2 - 4 \times 1 \times (-3000)}}{2}$$ $$v = \frac{-10 \pm \sqrt{100 + 12000}}{2}$$ $$v = \frac{-10 \pm \sqrt{12100}}{2}$$ $$v = \frac{-10 \pm 110}{2}$$ 6. Soluciones: $$v = \frac{-10 + 110}{2} = 50$$ (válida) $$v = \frac{-10 - 110}{2} = -60$$ (no válida, velocidad negativa) Respuesta final: La velocidad original es 50 km/h. 3. Mezcla de Soluciones Problema: Se mezcla alcohol al 20% con alcohol al 50% para obtener 10 litros de solución al 30%. 1. Definimos variables: Sea $x$ litros de solución al 20%. Entonces $10 - x$ litros de solución al 50%. 2. Cantidad de alcohol puro: $$0.2x + 0.5(10 - x) = 0.3 \times 10$$ 3. Resolvemos: $$0.2x + 5 - 0.5x = 3$$ $$-0.3x = 3 - 5$$ $$-0.3x = -2$$ $$x = \frac{-2}{-0.3} = 6.67$$ litros 4. Por lo tanto: Solución al 20%: 6.67 litros. Solución al 50%: $10 - 6.67 = 3.33$ litros. Respuesta final: 6.67 litros al 20% y 3.33 litros al 50%. 4. Interés Compuesto Problema: Se invierten 1000 unidades. En 3 años se convierten en 1331 unidades con interés compuesto anual. Encuentra la tasa. 1. Fórmula de interés compuesto: $$A = P(1 + r)^t$$ 2. Datos: $$1331 = 1000(1 + r)^3$$ 3. Despejamos: $$(1 + r)^3 = \frac{1331}{1000} = 1.331$$ 4. Sacamos raíz cúbica: $$1 + r = (1.331)^{\frac{1}{3}} = 1.1$$ 5. Calculamos tasa: $$r = 1.1 - 1 = 0.1 = 10\%$$ Respuesta final: La tasa de interés anual es 10%. 5. Crecimiento de Población Problema: Una población inicial de 5000 crece 4% cada año. Calcula la población después de 10 años. 1. Modelo de crecimiento exponencial: $$P(t) = 5000(1.04)^t$$ 2. Para $t=10$ años: $$P(10) = 5000(1.04)^{10}$$ 3. Calculamos: $$P(10) \approx 5000 \times 1.48024 = 7401.2$$ Respuesta final: La población después de 10 años es aproximadamente 7400. 6. Optimización de Área Problema: Un granjero tiene 100 m de cerca para construir un corral rectangular. Maximiza el área. 1. Planteamos perímetro: $$2x + 2y = 100$$ $$y = 50 - x$$ 2. Área: $$A = x \times y = x(50 - x) = 50x - x^2$$ 3. Para maximizar, derivamos y igualamos a cero: $$A' = 50 - 2x = 0$$ $$2x = 50$$ $$x = 25$$ 4. Calculamos $y$: $$y = 50 - 25 = 25$$ 5. Área máxima: $$A = 25 \times 25 = 625$$ m² Respuesta final: El área máxima es 625 m² con lados de 25 m. 7. Demanda y Precio Problema: La función precio es $p = 50 - 0.1q$. Encuentra la cantidad $q$ que maximiza el ingreso. 1. Ingreso: $$R = p \times q = q(50 - 0.1q) = 50q - 0.1q^2$$ 2. Derivada para maximizar: $$R' = 50 - 0.2q$$ 3. Igualamos a cero: $$50 - 0.2q = 0$$ $$0.2q = 50$$ $$q = 250$$ 4. Precio correspondiente: $$p = 50 - 0.1 \times 250 = 25$$ 5. Ingreso máximo: $$R = 25 \times 250 = 6250$$ Respuesta final: La cantidad que maximiza ingreso es 250 y el ingreso máximo es 6250. 8. Trabajo en Equipo Problema: Ana hace un trabajo en 6 días y Bob en 8 días. ¿Cuánto tardan juntos? 1. Tasas de trabajo: Ana: $\frac{1}{6}$ trabajo/día. Bob: $\frac{1}{8}$ trabajo/día. 2. Tasa conjunta: $$\frac{1}{6} + \frac{1}{8} = \frac{4}{24} + \frac{3}{24} = \frac{7}{24}$$ trabajo/día. 3. Tiempo total: $$t = \frac{1}{\frac{7}{24}} = \frac{24}{7} \approx 3.43$$ días. Respuesta final: Juntos tardan aproximadamente 3.43 días. 9. Costos de Producción Problema: Costo $C(q) = 200 + 5q + 0.01q^2$. Encuentra mínimo costo. 1. Derivada: $$C'(q) = 5 + 0.02q$$ 2. Igualamos a cero para mínimo: $$5 + 0.02q = 0$$ $$0.02q = -5$$ $$q = -250$$ (no válido, producción negativa) 3. Por lo tanto, mínimo costo se analiza en $q \geq 0$. Respuesta final: No hay mínimo para $q > 0$, mínimo en frontera $q=0$. 10. Flujo de Tanque Problema: Un tanque se llena a 10 L/min y se vacía a 4 L/min simultáneamente. ¿Cuánto tarda en llenarse 200 L? 1. Tasa neta: $$10 - 4 = 6$$ L/min. 2. Tiempo para llenar 200 L: $$t = \frac{200}{6} \approx 33.33$$ minutos. Respuesta final: El tanque se llena en aproximadamente 33.33 minutos.