1. O problema nos diz que um time joga 19 partidas, ganhando 3 pontos por vitória e 1 ponto por empate. 2. O time Olympus acumulou 28 pontos ao final do campeonato. 3. Queremos descobrir quantas vezes o time empatou. 4. Definimos as variáveis: - $v$ = número de vitórias - $e$ = número de empates - $d$ = número de derrotas 5. Sabemos que o total de jogos é 19, então: $$v + e + d = 19$$ 6. A pontuação total é dada por: $$3v + 1e + 0d = 28$$ 7. Como derrotas não somam pontos, podemos ignorar $d$ na equação de pontos. 8. Da equação dos jogos, isolamos $d$: $$d = 19 - v - e$$ 9. Nosso objetivo é encontrar $e$. 10. Vamos expressar $v$ em função de $e$ usando a equação dos pontos: $$3v + e = 28 \Rightarrow 3v = 28 - e \Rightarrow v = \frac{28 - e}{3}$$ 11. Como $v$ deve ser inteiro e não negativo, $28 - e$ deve ser divisível por 3 e $v \geq 0$. 12. Testamos valores inteiros de $e$ de 0 a 19 para encontrar valores válidos: - Para $e=1$, $v=\frac{28-1}{3}=\frac{27}{3}=9$ (inteiro e positivo) - Verificamos se $d$ é não negativo: $$d=19 - 9 - 1 = 9 \geq 0$$ - Para $e=4$, $v=\frac{28-4}{3}=\frac{24}{3}=8$, $d=19-8-4=7$ (válido) - Para $e=7$, $v=\frac{28-7}{3}=\frac{21}{3}=7$, $d=19-7-7=5$ (válido) - Para $e=10$, $v=\frac{28-10}{3}=\frac{18}{3}=6$, $d=19-6-10=3$ (válido) - Para $e=13$, $v=\frac{28-13}{3}=\frac{15}{3}=5$, $d=19-5-13=1$ (válido) - Para $e=16$, $v=\frac{28-16}{3}=\frac{12}{3}=4$, $d=19-4-16=-1$ (inválido, $d$ negativo) 13. O único valor de $e$ que satisfaz todas as condições e está entre as opções possíveis é $e=10$. **Resposta final:** O time Olympus empatou **10 vezes**.