1. Determine o valor das seguintes expressões: 1.1. Calcule $$\sqrt{2} \times 2^{-3} \times \sqrt{8} - 2^{-2}$$ - $$\sqrt{2} = 2^{1/2}$$ e $$\sqrt{8} = \sqrt{4 \times 2} = 2 \times 2^{1/2} = 2^{3/2}$$ - Multiplicando as potências de base 2: $$2^{1/2} \times 2^{-3} \times 2^{3/2} = 2^{1/2 - 3 + 3/2} = 2^{(1/2 + 3/2) - 3} = 2^{2 - 3} = 2^{-1} = \frac{1}{2}$$ - Subtraindo $$2^{-2} = \frac{1}{4}$$ temos: $$\frac{1}{2} - \frac{1}{4} = \frac{2}{4} - \frac{1}{4} = \frac{1}{4}$$ Resposta: $$\frac{1}{4}$$ 1.2. Calcule $$\left( \left(\frac{1}{7^2} - \frac{1}{5^2}\right) \times \left(\frac{1}{7^2} + 5^2\right) \right)^{-1/2}$$ - Primeiro calcule $$\frac{1}{7^2} = \frac{1}{49}$$ e $$\frac{1}{5^2} = \frac{1}{25}$$ - Subtração: $$\frac{1}{49} - \frac{1}{25} = \frac{25 - 49}{49 \times 25} = \frac{-24}{1225}$$ - Soma: $$\frac{1}{49} + 25 = \frac{1}{49} + \frac{1225}{49} = \frac{1226}{49}$$ - Produto: $$\frac{-24}{1225} \times \frac{1226}{49} = \frac{-24 \times 1226}{1225 \times 49}$$ - Simplificando $$\cancel{1225} = 25 \times 49$$, não há fator comum com 1226, então mantemos assim. - O valor é negativo, então: $$\left(\frac{-24 \times 1226}{1225 \times 49}\right)^{-1/2} = \left(-A\right)^{-1/2}$$ onde $$A > 0$$. - Como a base é negativa e o expoente é $$-1/2$$ (raiz quadrada inversa), o resultado não é real. Portanto, não existe valor real para essa expressão. Resposta: Não existe valor real. 1.3. Calcule $$\frac{(5^{-2})^3 \times (\frac{1}{7^3})^{3/2}}{(5^2)^{-14} \times 7^{1/2}}$$ - Simplifique as potências: $$ (5^{-2})^3 = 5^{-6} $$ $$ \left(\frac{1}{7^3}\right)^{3/2} = 7^{-\frac{9}{2}} $$ $$ (5^2)^{-14} = 5^{-28} $$ - Substituindo: $$ \frac{5^{-6} \times 7^{-9/2}}{5^{-28} \times 7^{1/2}} = 5^{-6 - (-28)} \times 7^{-9/2 - 1/2} = 5^{22} \times 7^{-5} $$ Resposta: $$5^{22} \times 7^{-5}$$ 2. Resolva as equações em $$\mathbb{R}$$: 2.1. $$2^{x+1} = \frac{1}{16} = 2^{-4}$$ - Igualando expoentes: $$x + 1 = -4 \Rightarrow x = -5$$ 2.2. $$9^x = 3\sqrt{3} = 3^{1} \times 3^{1/2} = 3^{3/2}$$ - Como $$9 = 3^2$$, temos: $$ (3^2)^x = 3^{3/2} \Rightarrow 3^{2x} = 3^{3/2} \Rightarrow 2x = \frac{3}{2} \Rightarrow x = \frac{3}{4} $$ 2.3. $$\left(\frac{1}{64}\right)^{2+5x} - 4^{3-2x} = 64^0 - \left(\frac{1}{32}\right)^{64}$$ - Simplifique as potências: $$\frac{1}{64} = 64^{-1} = 2^{-6}$$ $$4 = 2^2$$ $$64^0 = 1$$ $$\frac{1}{32} = 2^{-5}$$ - Substituindo: $$ (2^{-6})^{2+5x} - (2^2)^{3-2x} = 1 - (2^{-5})^{64} $$ $$ 2^{-6(2+5x)} - 2^{2(3-2x)} = 1 - 2^{-320} $$ $$ 2^{-12 - 30x} - 2^{6 - 4x} = 1 - 2^{-320} $$ - Como $$2^{-320}$$ é muito pequeno, aproximamos: $$ 2^{-12 - 30x} - 2^{6 - 4x} \approx 1 $$ - Essa equação é complexa para resolver analiticamente aqui, mas podemos verificar que para $$x = -1$$: $$2^{-12 + 30} - 2^{6 + 4} = 2^{18} - 2^{10} = 262144 - 1024 = 261120 \neq 1$$ - Portanto, solução exata requer métodos numéricos. Resposta: solução numérica. 2.4. $$ (\sqrt{27})^{2x-1} = 9^{x-3} $$ - $$\sqrt{27} = 27^{1/2} = (3^3)^{1/2} = 3^{3/2}$$ - $$9 = 3^2$$ - Substituindo: $$ (3^{3/2})^{2x-1} = (3^2)^{x-3} \Rightarrow 3^{\frac{3}{2}(2x-1)} = 3^{2(x-3)} $$ - Igualando expoentes: $$ \frac{3}{2}(2x-1) = 2x - 6 $$ $$ 3x - \frac{3}{2} = 2x - 6 $$ $$ 3x - 2x = -6 + \frac{3}{2} $$ $$ x = -\frac{9}{2} $$ 2.5. $$4^{x+2} - 64^x = 0$$ - $$4 = 2^2$$ e $$64 = 2^6$$ - Substituindo: $$ (2^2)^{x+2} - (2^6)^x = 0 \Rightarrow 2^{2x+4} - 2^{6x} = 0 $$ - Coloque em evidência: $$ 2^{2x+4} = 2^{6x} $$ - Igualando expoentes: $$ 2x + 4 = 6x \Rightarrow 4 = 4x \Rightarrow x = 1 $$ 2.6. $$2^{x+3} + 4^{x+1} - 320 = 0$$ - $$4 = 2^2$$ - Substituindo: $$ 2^{x+3} + (2^2)^{x+1} - 320 = 0 \Rightarrow 2^{x+3} + 2^{2x+2} = 320 $$ - Coloque $$2^{x} = t$$: $$ 2^{x+3} = 8t $$ $$ 2^{2x+2} = 4t^2 $$ - Equação: $$ 8t + 4t^2 = 320 \Rightarrow 4t^2 + 8t - 320 = 0 $$ - Dividindo por 4: $$ t^2 + 2t - 80 = 0 $$ - Resolva a equação quadrática: $$ t = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 320}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{324}}{2} = \frac{-2 \pm 18}{2} $$ - Soluções: $$ t_1 = 8, \quad t_2 = -10 $$ (descartamos $$t_2$$ pois $$t=2^x > 0$$) - Logo: $$ 2^x = 8 = 2^3 \Rightarrow x = 3 $$ 3. Resolva as inequações em $$\mathbb{R}$$: 3.1. $$9^{x+1} - \sqrt{3} \leq 0$$ - $$9 = 3^2$$ e $$\sqrt{3} = 3^{1/2}$$ - Substituindo: $$ 3^{2(x+1)} \leq 3^{1/2} $$ - Como base $$3 > 1$$, a desigualdade mantém o sentido: $$ 2(x+1) \leq \frac{1}{2} \Rightarrow 2x + 2 \leq \frac{1}{2} \Rightarrow 2x \leq -\frac{3}{2} \Rightarrow x \leq -\frac{3}{4} $$ 3.2. $$4^x - \frac{1}{\sqrt{2}} < 0$$ - $$4 = 2^2$$ e $$\frac{1}{\sqrt{2}} = 2^{-1/2}$$ - Substituindo: $$ 2^{2x} < 2^{-1/2} $$ - Como base $$2 > 1$$, desigualdade mantém sentido: $$ 2x < -\frac{1}{2} \Rightarrow x < -\frac{1}{4} $$ 3.3. $$4^{2x-3} \geq \left(\frac{1}{16}\right)^x$$ - $$4 = 2^2$$ e $$\frac{1}{16} = 16^{-1} = 2^{-4}$$ - Substituindo: $$ (2^2)^{2x-3} \geq (2^{-4})^x \Rightarrow 2^{4x - 6} \geq 2^{-4x} $$ - Como base $$2 > 1$$, desigualdade mantém sentido: $$ 4x - 6 \geq -4x \Rightarrow 8x \geq 6 \Rightarrow x \geq \frac{3}{4} $$ 3.4. $$7^{3x-2} \times \frac{1}{49} \leq \sqrt[5]{7^x}$$ - $$\frac{1}{49} = 7^{-2}$$ e $$\sqrt[5]{7^x} = 7^{x/5}$$ - Substituindo: $$ 7^{3x - 2} \times 7^{-2} \leq 7^{x/5} \Rightarrow 7^{3x - 4} \leq 7^{x/5} $$ - Como base $$7 > 1$$, desigualdade mantém sentido: $$ 3x - 4 \leq \frac{x}{5} \Rightarrow 3x - \frac{x}{5} \leq 4 \Rightarrow \frac{15x - x}{5} \leq 4 \Rightarrow \frac{14x}{5} \leq 4 \Rightarrow x \leq \frac{20}{14} = \frac{10}{7} $$