1. Planteamos el problema: Resolver la ecuación exponencial $$9^{2x} \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^{x+2} = 27 \cdot (3^x)^{-2}$$. 2. Expresamos todas las bases en potencias de 3, ya que 9, 27 y 3 están relacionados: $$9 = 3^2, \quad 27 = 3^3, \quad \frac{1}{3} = 3^{-1}$$. 3. Reescribimos la ecuación usando estas potencias: $$\left(3^2\right)^{2x} \cdot \left(3^{-1}\right)^{x+2} = 3^3 \cdot \left(3^x\right)^{-2}$$. 4. Simplificamos las potencias usando la propiedad $$(a^m)^n = a^{mn}$$: $$3^{4x} \cdot 3^{-x-2} = 3^3 \cdot 3^{-2x}$$. 5. Aplicamos la propiedad de multiplicación de potencias con la misma base: $$a^m \cdot a^n = a^{m+n}$$: $$3^{4x + (-x - 2)} = 3^{3 + (-2x)}$$ $$3^{3x - 2} = 3^{3 - 2x}$$. 6. Como las bases son iguales y distintas de 1, igualamos los exponentes: $$3x - 2 = 3 - 2x$$. 7. Resolvemos la ecuación lineal: $$3x + 2x = 3 + 2$$ $$5x = 5$$ $$x = \frac{5}{5} = 1$$. 8. Por lo tanto, la solución de la ecuación es $$\boxed{1}$$.