1. El problema es simplificar la expresión $$M = x^{-3^{2^2}} \cdot (x^{-3})^{2^2} \cdot x^{(-3)^{2^2}}$$ y encontrar el exponente final de $x$. 2. Primero, evaluamos las potencias de 2 en los exponentes: $$2^2 = 4$$ 3. Reescribimos la expresión con estos valores: $$M = x^{-3^4} \cdot (x^{-3})^4 \cdot x^{(-3)^4}$$ 4. Evaluamos las potencias de 3: - $$3^4 = 81$$ - $$(-3)^4 = 81$$ (porque una potencia par de un número negativo es positiva) 5. Sustituimos estos valores: $$M = x^{-81} \cdot (x^{-3})^4 \cdot x^{81}$$ 6. Aplicamos la propiedad de potencias: $$(x^a)^b = x^{a \cdot b}$$ para el segundo término: $$ (x^{-3})^4 = x^{-3 \cdot 4} = x^{-12} $$ 7. Ahora la expresión es: $$M = x^{-81} \cdot x^{-12} \cdot x^{81}$$ 8. Sumamos los exponentes porque la base es la misma y se multiplican potencias: $$-81 + (-12) + 81 = (-81 + 81) + (-12) = 0 - 12 = -12$$ 9. Por lo tanto, el exponente final de $x$ es $$\boxed{-12}$$.