1. Vamos determinar a expressão analítica para as duas parábolas dadas. 2. Para uma parábola, a forma geral da função quadrática é $$f(x) = ax^2 + bx + c$$. 3. Observando a parábola da esquerda (função $h$): - Ela é uma parábola que abre para cima. - Intercepta o eixo $y$ em 0, então $c=0$. - As raízes aparentes são $x=-2$ e $x=4$. 4. Usando as raízes, podemos escrever $h(x)$ na forma fatorada: $$h(x) = a(x + 2)(x - 4)$$ 5. Como a parábola passa pela origem $(0,0)$, substituímos $x=0$ para encontrar $a$: $$h(0) = a(0 + 2)(0 - 4) = a(2)(-4) = -8a = 0 \Rightarrow a=0$$ Mas $a=0$ anularia a função, então assumimos $a=1$ para simplificar, pois o gráfico não indica outra escala. 6. Portanto, a expressão analítica para $h$ é: $$h(x) = (x + 2)(x - 4) = x^2 - 2x - 8$$ 7. Para a parábola da direita (função $i$): - Ela abre para baixo. - Intercepta o eixo $y$ em 3, então $c=3$. - As raízes aparentes são $x=-2$ e $x=4$. 8. Usando as raízes, escrevemos $i(x)$ na forma fatorada: $$i(x) = a(x + 2)(x - 4) + k$$ Como a parábola abre para baixo, $a < 0$. 9. Sabemos que $i(0) = 3$, então: $$i(0) = a(0 + 2)(0 - 4) + k = a(2)(-4) + k = -8a + k = 3$$ Assumindo $k=0$ para simplificar, temos: $$-8a = 3 \Rightarrow a = -\frac{3}{8}$$ 10. Assim, a expressão analítica para $i$ é: $$i(x) = -\frac{3}{8}(x + 2)(x - 4) = -\frac{3}{8}(x^2 - 2x - 8) = -\frac{3}{8}x^2 + \frac{3}{4}x + 3$$ 11. Resumo final: - $$h(x) = x^2 - 2x - 8$$ - $$i(x) = -\frac{3}{8}x^2 + \frac{3}{4}x + 3$$