1. **Planteamiento del problema:** Queremos hallar el número de factores no primos del polinomio $$p(x) = x^8 - 9x^4 + 8$$ en $$\mathbb{R}[x]$$. 2. **Factorización del polinomio:** Primero, notamos que $$p(x)$$ es un polinomio en términos de $$x^4$$. Definamos $$y = x^4$$, entonces: $$p(x) = y^2 - 9y + 8$$ 3. **Factorizamos el polinomio cuadrático en $$y$$:** $$y^2 - 9y + 8 = (y - 1)(y - 8)$$ 4. **Volvemos a la variable $$x$$:** $$p(x) = (x^4 - 1)(x^4 - 8)$$ 5. **Factorizamos cada término:** - $$x^4 - 1$$ es una diferencia de cuadrados: $$x^4 - 1 = (x^2 - 1)(x^2 + 1)$$ - $$x^2 - 1$$ también es diferencia de cuadrados: $$x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)$$ - $$x^2 + 1$$ es irreducible en $$\mathbb{R}[x]$$ (no tiene raíces reales). - $$x^4 - 8$$ es una diferencia de potencias: $$x^4 - 8 = (x^2)^2 - (2\sqrt{2})^2 = (x^2 - 2\sqrt{2})(x^2 + 2\sqrt{2})$$ - $$x^2 - 2\sqrt{2}$$ es factorizable en $$\mathbb{R}[x]$$ porque $$2\sqrt{2} > 0$$: $$x^2 - 2\sqrt{2} = (x - \sqrt{2\sqrt{2}})(x + \sqrt{2\sqrt{2}})$$ - $$x^2 + 2\sqrt{2}$$ es irreducible en $$\mathbb{R}[x]$$. 6. **Lista completa de factores irreducibles (primos) en $$\mathbb{R}[x]$$:** - $$x - 1$$ - $$x + 1$$ - $$x^2 + 1$$ - $$x - \sqrt{2\sqrt{2}}$$ - $$x + \sqrt{2\sqrt{2}}$$ - $$x^2 + 2\sqrt{2}$$ 7. **Número total de factores irreducibles:** 6 8. **Número total de factores (contando combinaciones):** Cada factor puede estar presente o no en un factor compuesto, por lo que el número total de factores (incluyendo primos y no primos) es $$2^6 = 64$$ (incluyendo el factor trivial 1 y el polinomio mismo). 9. **Número de factores primos:** 6 (los listados arriba) 10. **Número de factores no primos:** Se calcula como: $$64 - 6 - 1 = 57$$ Donde restamos 6 factores primos y 1 factor trivial (el 1). **Respuesta final:** El número de factores no primos del polinomio $$p(x)$$ en $$\mathbb{R}[x]$$ es **57**.