1. Planteamos el problema: Tenemos la expresión $$\frac{1,\hat{2}-0,\hat{3}}{0,5+0,\hat{3}+0,166666\ldots} = \frac{a}{b}$$ donde $$\frac{a}{b}$$ es una fracción irreducible. Debemos calcular $$E=\sqrt{a+b-1}$$. 2. Convertimos los números decimales periódicos a fracciones: - $$1,\hat{2} = 1,2222\ldots = \frac{11}{9}$$ (porque $$0,\hat{2} = \frac{2}{9}$$) - $$0,\hat{3} = 0,3333\ldots = \frac{1}{3}$$ - $$0,5 = \frac{1}{2}$$ - $$0,166666\ldots = 0,1\hat{6} = \frac{1}{6}$$ 3. Calculamos el numerador: $$1,\hat{2} - 0,\hat{3} = \frac{11}{9} - \frac{1}{3} = \frac{11}{9} - \frac{3}{9} = \frac{8}{9}$$ 4. Calculamos el denominador: $$0,5 + 0,\hat{3} + 0,166666\ldots = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{6}$$ 5. Sumamos el denominador: $$\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{6} = \frac{3}{6} + \frac{2}{6} + \frac{1}{6} = \frac{6}{6} = 1$$ 6. Por lo tanto, la fracción es: $$\frac{8/9}{1} = \frac{8}{9}$$ 7. La fracción $$\frac{8}{9}$$ es irreducible porque 8 y 9 no tienen factores comunes. 8. Calculamos $$E$$: $$E = \sqrt{a + b - 1} = \sqrt{8 + 9 - 1} = \sqrt{16} = 4$$ Respuesta final: $$E = 4$$