Question: 1 Descomponer en fracciones parciales y obtener los valores de las constantes correspondientes del siguiente cociente de polinomios.
P(x) = \frac{7x + 3}{x^2 + 3x - 4}
2 Determinar los valores de k para el sistema de ecuaciones lineales
2x - y + kz = 1
-x + y - kz = 0
2x - y + 2kz = -1
Sea compatible determinado.
3 Calcular por el método de desarrollo por cofactores el valor del siguiente determinante.
A = \begin{vmatrix} 2 & 1 & -5 & 2 \\ 4 & -6 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & -1 & 0 \\ 1 & 6 & -7 & 1 \end{vmatrix}
4 Sean las matrices:
A = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}, B = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 2 \\ -1 & 3 & 1 \end{bmatrix}, C = \begin{bmatrix} -1 & 1 & 6 \\ 3 & 1 & 2 \end{bmatrix}
Determinar la matriz X para la que se verifica:
A^2X = \frac{1}{2} (A + BC^t)
Nota: De ser necesario obtener la inversa mediante el procedimiento de la adjunta traspuesta.
1. **Problema:** Descomponer en fracciones parciales el cociente $$P(x) = \frac{7x + 3}{x^2 + 3x - 4}$$ y encontrar las constantes correspondientes.
2. **Factorizar el denominador:**
$$x^2 + 3x - 4 = (x + 4)(x - 1)$$
3. **Forma de la descomposición en fracciones parciales:**
$$\frac{7x + 3}{(x + 4)(x - 1)} = \frac{A}{x + 4} + \frac{B}{x - 1}$$
4. **Multiplicar ambos lados por el denominador común:**
$$7x + 3 = A(x - 1) + B(x + 4)$$
5. **Expandir y agrupar términos:**
$$7x + 3 = A x - A + B x + 4B = (A + B)x + (-A + 4B)$$
6. **Igualar coeficientes:**
Para $x$: $$7 = A + B$$
Para término independiente: $$3 = -A + 4B$$
7. **Resolver el sistema:**
De la primera ecuación: $$A = 7 - B$$
Sustituir en la segunda:
$$3 = -(7 - B) + 4B = -7 + B + 4B = -7 + 5B$$
$$3 + 7 = 5B$$
$$10 = 5B$$
$$B = 2$$
Entonces:
$$A = 7 - 2 = 5$$
8. **Respuesta parcial:**
$$\frac{7x + 3}{x^2 + 3x - 4} = \frac{5}{x + 4} + \frac{2}{x - 1}$$