1. **Planteamiento del problema:** Tenemos una función definida por partes: $$f(x) = \begin{cases} \frac{x^2 - 25}{2x - 10} & x < 5 \\ 12 - x & x = 5 \\ \frac{-x^2 + 15x - 50}{x - 5} & x > 5 \end{cases}$$ Queremos analizar esta función, simplificar las expresiones para cada intervalo y entender su comportamiento. 2. **Simplificación de cada parte:** - Para $x < 5$: $$\frac{x^2 - 25}{2x - 10} = \frac{(x - 5)(x + 5)}{2(x - 5)}$$ Cancelamos el factor común $x - 5$ (con $x \neq 5$): $$\frac{\cancel{(x - 5)}(x + 5)}{2\cancel{(x - 5)}} = \frac{x + 5}{2}$$ - Para $x = 5$: $$f(5) = 12 - 5 = 7$$ - Para $x > 5$: $$\frac{-x^2 + 15x - 50}{x - 5} = \frac{-(x^2 - 15x + 50)}{x - 5}$$ Factorizamos el trinomio: $$x^2 - 15x + 50 = (x - 5)(x - 10)$$ Entonces: $$\frac{-(x - 5)(x - 10)}{x - 5}$$ Cancelamos $x - 5$ (con $x \neq 5$): $$\frac{-\cancel{(x - 5)}(x - 10)}{\cancel{(x - 5)}} = -(x - 10) = -x + 10$$ 3. **Conclusión:** La función simplificada es: $$f(x) = \begin{cases} \frac{x + 5}{2} & x < 5 \\ 7 & x = 5 \\ -x + 10 & x > 5 \end{cases}$$ Esto significa que para valores menores a 5, la función es una línea con pendiente $\frac{1}{2}$ y ordenada al origen $\frac{5}{2}$. En $x=5$, la función toma el valor 7. Para valores mayores a 5, la función es una línea con pendiente $-1$ y ordenada al origen 10. 4. **Interpretación:** Esta función es continua en $x=5$ si los límites laterales coinciden con $f(5)$. Calculamos los límites: $$\lim_{x \to 5^-} f(x) = \lim_{x \to 5^-} \frac{x + 5}{2} = \frac{5 + 5}{2} = 5$$ $$\lim_{x \to 5^+} f(x) = \lim_{x \to 5^+} (-x + 10) = -5 + 10 = 5$$ Pero $f(5) = 7$, por lo que la función no es continua en $x=5$. **Respuesta final:** $$f(x) = \begin{cases} \frac{x + 5}{2} & x < 5 \\ 7 & x = 5 \\ -x + 10 & x > 5 \end{cases}$$ La función tiene un salto en $x=5$ porque $f(5) \neq \lim_{x \to 5} f(x)$.