1. **Planteamiento del problema:** Estudiar completamente la función $$f(x) = \frac{x^2 - 1}{x^2 - 3x}$$ incluyendo dominio, cortes con los ejes, signos, asíntotas y comportamiento general. 2. **Dominio:** El denominador no puede ser cero, entonces: $$x^2 - 3x = x(x-3) = 0 \implies x = 0 \text{ o } x = 3$$ Por lo tanto, el dominio es $$\mathbb{R} \setminus \{0,3\}$$. 3. **Cortes con los ejes:** - Corte con eje y: Evaluar en $$x=0$$, pero $$x=0$$ no está en el dominio, por lo que no hay corte con eje y. - Corte con eje x: Resolver $$f(x) = 0$$, es decir, cuando el numerador es cero: $$x^2 - 1 = 0 \implies x = \pm 1$$ Ambos están en el dominio, ya que ni 1 ni -1 son 0 o 3. 4. **Signo de la función:** Analizamos signos de numerador y denominador: - Numerador $$x^2 - 1$$ es positivo si $$|x| > 1$$, negativo si $$|x| < 1$$. - Denominador $$x(x-3)$$ es: - Positivo si $$x > 3$$ o $$x < 0$$ (porque para $$x<0$$, $$x$$ negativo y $$x-3$$ negativo, producto positivo). - Negativo si $$0 < x < 3$$. Tabla de signos: | Intervalo | Numerador | Denominador | Función | |-----------|-----------|-------------|---------| | $$(-\infty, -1)$$ | + | + | + | | $$(-1, 0)$$ | - | + | - | | $$ (0,1)$$ | - | - | + | | $$ (1,3)$$ | + | - | - | | $$ (3, \infty)$$ | + | + | + | 5. **Asíntotas verticales:** En los puntos donde el denominador es cero y la función no está definida: - En $$x=0$$ y $$x=3$$. 6. **Asíntota horizontal o inclinada:** Para $$x \to \pm \infty$$: Dividimos numerador y denominador por $$x^2$$: $$f(x) = \frac{1 - \frac{1}{x^2}}{1 - \frac{3}{x}} \to \frac{1 - 0}{1 - 0} = 1$$ Por lo tanto, la asíntota horizontal es $$y=1$$. 7. **Resumen:** - Dominio: $$\mathbb{R} \setminus \{0,3\}$$ - Cortes con eje x: $$x = -1, 1$$ - No hay corte con eje y - Asíntotas verticales: $$x=0$$ y $$x=3$$ - Asíntota horizontal: $$y=1$$ - Signo de la función según tabla anterior