1. **Planteamiento del problema:** Queremos analizar la función $$f(x) = \frac{x}{x^2 + 2}$$ y determinar su dominio, recorrido y graficarla. 2. **Dominio:** El dominio de una función racional es el conjunto de valores de $$x$$ para los cuales el denominador no es cero. 3. **Condición para el dominio:** $$x^2 + 2 \neq 0$$ 4. **Evaluación:** Como $$x^2 \geq 0$$ para todo $$x$$ real y $$2 > 0$$, entonces $$x^2 + 2 > 0$$ para todo $$x$$ real. 5. **Conclusión dominio:** El denominador nunca es cero, por lo que el dominio es $$\mathbb{R}$$ (todos los números reales). 6. **Recorrido:** Para encontrar el recorrido, analizamos los valores que puede tomar $$f(x)$$. 7. **Análisis de la función:** $$f(x) = \frac{x}{x^2 + 2}$$ 8. **Derivada para encontrar extremos:** $$f'(x) = \frac{(1)(x^2 + 2) - x(2x)}{(x^2 + 2)^2} = \frac{x^2 + 2 - 2x^2}{(x^2 + 2)^2} = \frac{-x^2 + 2}{(x^2 + 2)^2}$$ 9. **Igualamos la derivada a cero para extremos:** $$-x^2 + 2 = 0 \Rightarrow x^2 = 2 \Rightarrow x = \pm \sqrt{2}$$ 10. **Evaluamos la función en los puntos críticos:** $$f(\sqrt{2}) = \frac{\sqrt{2}}{(\sqrt{2})^2 + 2} = \frac{\sqrt{2}}{2 + 2} = \frac{\sqrt{2}}{4}$$ $$f(-\sqrt{2}) = \frac{-\sqrt{2}}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{4}$$ 11. **Comportamiento en los extremos:** Cuando $$x \to \pm \infty$$, $$f(x) \to 0$$. 12. **Conclusión recorrido:** La función tiene un máximo en $$\frac{\sqrt{2}}{4}$$ y un mínimo en $$-\frac{\sqrt{2}}{4}$$, y se acerca a cero en los extremos. Por lo tanto, el recorrido es $$\left(-\frac{\sqrt{2}}{4}, \frac{\sqrt{2}}{4}\right)$$. 13. **Gráfica:** La gráfica es una curva que pasa por el origen, sube hasta $$\frac{\sqrt{2}}{4}$$ y baja hasta $$-\frac{\sqrt{2}}{4}$$, acercándose a cero cuando $$x$$ tiende a infinito o menos infinito. **Respuesta final:** - Dominio: $$\mathbb{R}$$ - Recorrido: $$\left(-\frac{\sqrt{2}}{4}, \frac{\sqrt{2}}{4}\right)$$