1. Planteamos el problema: Expresar la función $$f(x) = |x+1| + |x-2|$$ como función definida a trozos y estudiar su continuidad. 2. Recordemos que el valor absoluto se define como: $$|a| = \begin{cases} a, & a \geq 0 \\ -a, & a < 0 \end{cases}$$ 3. Identificamos los puntos donde cambian las expresiones dentro de los valores absolutos: en $$x = -1$$ y $$x = 2$$. 4. Definimos la función por intervalos: - Para $$x < -1$$: $$x+1 < 0 \Rightarrow |x+1| = -(x+1)$$ $$x-2 < 0 \Rightarrow |x-2| = -(x-2)$$ Entonces: $$f(x) = -(x+1) - (x-2) = -x -1 - x + 2 = -2x + 1$$ - Para $$-1 \leq x < 2$$: $$x+1 \geq 0 \Rightarrow |x+1| = x+1$$ $$x-2 < 0 \Rightarrow |x-2| = -(x-2)$$ Entonces: $$f(x) = (x+1) - (x-2) = x + 1 - x + 2 = 3$$ - Para $$x \geq 2$$: $$x+1 \geq 0 \Rightarrow |x+1| = x+1$$ $$x-2 \geq 0 \Rightarrow |x-2| = x-2$$ Entonces: $$f(x) = (x+1) + (x-2) = 2x - 1$$ 5. La función definida a trozos es: $$f(x) = \begin{cases} -2x + 1, & x < -1 \\ 3, & -1 \leq x < 2 \\ 2x - 1, & x \geq 2 \end{cases}$$ 6. Estudiamos la continuidad en los puntos $$x = -1$$ y $$x = 2$$: - En $$x = -1$$: $$\lim_{x \to -1^-} f(x) = -2(-1) + 1 = 2 + 1 = 3$$ $$\lim_{x \to -1^+} f(x) = 3$$ $$f(-1) = 3$$ Por lo tanto, $$f$$ es continua en $$x = -1$$. - En $$x = 2$$: $$\lim_{x \to 2^-} f(x) = 3$$ $$\lim_{x \to 2^+} f(x) = 2(2) - 1 = 4 - 1 = 3$$ $$f(2) = 3$$ Por lo tanto, $$f$$ es continua en $$x = 2$$. 7. Conclusión: La función $$f(x) = |x+1| + |x-2|$$ expresada a trozos es continua en todo $$\mathbb{R}$$.