1. **Planteamiento del problema:** Queremos expresar la función $$f(x) = |x + 1| + |x - 2|$$ como una función definida a trozos y estudiar su continuidad. 2. **Definición de valor absoluto:** Recordemos que $$|a| = \begin{cases} a, & \text{si } a \geq 0 \\ -a, & \text{si } a < 0 \end{cases}$$ 3. **Identificación de puntos críticos:** Los valores donde cambian las expresiones dentro de los valores absolutos son: - Para $$|x+1|$$, el punto crítico es $$x = -1$$. - Para $$|x-2|$$, el punto crítico es $$x = 2$$. 4. **División del dominio en intervalos:** Dividimos el dominio en tres intervalos según los puntos críticos: - $$(-\infty, -1)$$ - $$[-1, 2)$$ - $$[2, +\infty)$$ 5. **Expresión de la función en cada intervalo:** - Para $$x < -1$$: $$x+1 < 0 \Rightarrow |x+1| = -(x+1) = -x -1$$ $$x-2 < 0 \Rightarrow |x-2| = -(x-2) = -x + 2$$ Entonces: $$f(x) = (-x -1) + (-x + 2) = -2x + 1$$ - Para $$-1 \leq x < 2$$: $$x+1 \geq 0 \Rightarrow |x+1| = x + 1$$ $$x-2 < 0 \Rightarrow |x-2| = -(x-2) = -x + 2$$ Entonces: $$f(x) = (x + 1) + (-x + 2) = 3$$ - Para $$x \geq 2$$: $$x+1 \geq 0 \Rightarrow |x+1| = x + 1$$ $$x-2 \geq 0 \Rightarrow |x-2| = x - 2$$ Entonces: $$f(x) = (x + 1) + (x - 2) = 2x - 1$$ 6. **Función definida a trozos:** $$ f(x) = \begin{cases} -2x + 1, & x < -1 \\ 3, & -1 \leq x < 2 \\ 2x - 1, & x \geq 2 \end{cases} $$ 7. **Estudio de continuidad:** - En $$x = -1$$: $$\lim_{x \to -1^-} f(x) = -2(-1) + 1 = 2 + 1 = 3$$ $$\lim_{x \to -1^+} f(x) = 3$$ $$f(-1) = 3$$ Por lo tanto, $$f$$ es continua en $$x = -1$$. - En $$x = 2$$: $$\lim_{x \to 2^-} f(x) = 3$$ $$\lim_{x \to 2^+} f(x) = 2(2) - 1 = 4 - 1 = 3$$ $$f(2) = 3$$ Por lo tanto, $$f$$ es continua en $$x = 2$$. 8. **Conclusión:** La función $$f(x) = |x+1| + |x-2|$$ está definida a trozos como se mostró y es continua en todo su dominio porque los límites laterales y el valor de la función coinciden en los puntos críticos $$x = -1$$ y $$x = 2$$.