1. El problema consiste en identificar y resolver paso a paso cada función dada, clasificándola en polinómica, racional, raíz o logarítmica. 2. Clasificación de funciones: - Polinómica: expresiones con potencias enteras no negativas de $x$. - Racional: cociente de polinomios. - Raíz: funciones con raíces cuadradas o cúbicas. - Logarítmica: funciones con logaritmos (no hay en este caso). 3. Resolución y clasificación: **a) $y = x^2 - 1$** - Polinómica de grado 2. - Raíces: $x^2 - 1 = 0 \Rightarrow (x-1)(x+1)=0 \Rightarrow x=1, x=-1$ **b) $y = \frac{x^2 + 2x}{5}$** - Polinómica dividida por constante, sigue siendo polinómica. - Raíces: $x^2 + 2x = 0 \Rightarrow x(x+2)=0 \Rightarrow x=0, x=-2$ **c) $y = \frac{3}{2} x^3 + 7x - 2$** - Polinómica de grado 3. - Raíces: se resolverían con métodos numéricos o factorización si es posible. **d) $y = \frac{1}{x - 3}$** - Función racional. - Dominio: $x \neq 3$ (polo). **e) $y = \frac{-3x}{2x + 10}$** - Función racional. - Dominio: $2x + 10 \neq 0 \Rightarrow x \neq -5$ **f) $y = \frac{2x - 1}{x^2 + 1}$** - Función racional. - Denominador siempre positivo, dominio todo $\mathbb{R}$. **g) $y = \frac{2}{-x} = -\frac{2}{x}$** - Función racional. - Dominio: $x \neq 0$ **h) $y = \frac{x - 1}{x^2 + x - 6}$** - Función racional. - Denominador factorizado: $(x+3)(x-2)$. - Dominio: $x \neq -3, 2$ **i) $y = \frac{1}{x^2 - x}$** - Función racional. - Denominador factorizado: $x(x-1)$. - Dominio: $x \neq 0, 1$ **j) $y = \sqrt{x + 7}$** - Función raíz cuadrada. - Dominio: $x + 7 \geq 0 \Rightarrow x \geq -7$ **k) $y = \sqrt{1 - x}$** - Función raíz cuadrada. - Dominio: $1 - x \geq 0 \Rightarrow x \leq 1$ **l) $y = \sqrt{3x - 9}$** - Función raíz cuadrada. - Dominio: $3x - 9 \geq 0 \Rightarrow x \geq 3$ **m) $y = \sqrt{-x}$** - Función raíz cuadrada. - Dominio: $-x \geq 0 \Rightarrow x \leq 0$ **n) $y = \sqrt[3]{3x - 4}$** - Función raíz cúbica. - Dominio: todo $\mathbb{R}$ (raíces cúbicas definidas para todo real). **ñ) $y = 1 - 5\sqrt{2x + 2}$** - Función raíz cuadrada con transformación. - Dominio: $2x + 2 \geq 0 \Rightarrow x \geq -1$ 4. Resumen: - Polinómicas: a, b, c - Racionales: d, e, f, g, h, i - Raíz cuadrada: j, k, l, m, ñ - Raíz cúbica: n - No hay funciones logarítmicas. 5. Ejemplo de solución paso a paso para a): - $y = x^2 - 1$ - Para encontrar raíces, igualamos a cero: $$x^2 - 1 = 0$$ - Factorizamos: $$ (x - 1)(x + 1) = 0 $$ - Por la propiedad del producto cero: $$ x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1 $$ $$ x + 1 = 0 \Rightarrow x = -1 $$ - Por lo tanto, las raíces son $x=1$ y $x=-1$. 6. Si deseas que resuelva alguna función en particular con más detalle, indícalo.