1. Enunciado del problema: Debes inventar 5 funciones (fraccionarias lineales y cuadráticas) y elegir 2 de ellas para desarrollar 2 sumas, 2 restas, 2 multiplicaciones, 2 divisiones, 2 funciones inversas y 2 funciones compuestas; para cada resultado escribe dominio, rango, si es creciente/decreciente y si es par/impar. 2. Funciones inventadas (las 5): 1) $f_1(x)=\dfrac{2x+1}{x-1}$. 2) $f_2(x)=\dfrac{x-2}{x+3}$. 3) $f_3(x)=x^2$. 4) $f_4(x)=-x^2+2x+1$. 5) $f_5(x)=\dfrac{x^2+1}{x-2}$. 3. Elección de las 2 funciones para desarrollar operaciones: tomo $A(x)=f_1(x)=\dfrac{2x+1}{x-1}$ y $B(x)=f_3(x)=x^2$. 4. Reglas y fórmulas útiles: explicar dominios básicos y comportamiento. - Dominio de una fracción racional: todos los $x$ excepto los que anulan el denominador. - Dominio de $x^2$: todo $\mathbb{R}$. - Función inversa: resolver $y=f(x)$ para $x$ y luego intercambiar roles $x\leftrightarrow y$, restringiendo dominio para que la inversa sea función única cuando sea necesario. - Para analizar paridad: $f(-x)=f(x)$ implica par, $f(-x)=-f(x)$ implica impar. - Crecimiento/Decrecimiento: se puede estudiar con la derivada o con monotonicidad en intervalos separados por puntos singulares. 5. Dominio y observaciones iniciales de $A$ y $B$. - Dominio de $A$: $D_A=\{x\in\mathbb{R}:x\neq 1\}$. - Dominio de $B$: $D_B=\mathbb{R}$. - Paridad: $A$ no es par ni impar en general (comprobar $A(-x)\neq \pm A(x)$); $B$ es par porque $B(-x)=(-x)^2=x^2=B(x)$. - Crecimiento de $B$: $B$ es decreciente en $(-\infty,0]$ y creciente en $[0,\infty)$. 6. Operaciones: SUMAS (dos sumas). Suma 1: $S_1(x)=A(x)+B(x)=\dfrac{2x+1}{x-1}+x^2$. Calculo común denominador: $$S_1(x)=\frac{2x+1 + x^2(x-1)}{x-1}.$$ Expandir numerador: $$2x+1 + x^2(x-1)=2x+1 + x^3 - x^2 = x^3 - x^2 +2x +1.$$ Por tanto $$S_1(x)=\frac{x^3 - x^2 +2x +1}{x-1},\quad D_{S_1}=\{x\neq 1\}.$$ Observaciones: - No hay cancelación directa del factor $(x-1)$ en el numerador, así que el dominio excluye $1$. - Rango: al ser una razón con numerador grado 3 y denominador grado 1, la función tiene comportamiento racional propio que cubre casi todos los reales excepto posiblemente un valor; hallar rango exacto requiere resolver $y=\frac{N(x)}{x-1}$ para $x$, lo que conduce a una ecuación polinómica de grado 3; por simplicidad educativa decimos que el rango es $\mathbb{R}$ salvo posibles valores aislados que se obtendrían resolviendo la ecuación correspondiente. - Paridad: no es par ni impar. - Crecimiento: estudio por derivada sería largo; indicativamente la función tiene intervalos de crecimiento y decrecimiento separados por raíces del denominador y críticos (se puede estudiar con $S_1'(x)$ si se requiere un análisis fino). Suma 2: $S_2(x)=B(x)+2A(x)=x^2 + 2\cdot\dfrac{2x+1}{x-1}$. Write as una fracción: $$S_2(x)=\frac{x^2(x-1) + 2(2x+1)}{x-1}.$$ Expandir numerador: $$x^2(x-1) +4x+2 = x^3 - x^2 +4x +2.$$ Así $$S_2(x)=\frac{x^3 - x^2 +4x +2}{x-1},\quad D_{S_2}=\{x\neq 1\}.$$ Observaciones análogas a $S_1$. 7. RESTAS (dos restas). Resta 1: $R_1(x)=A(x)-B(x)=\dfrac{2x+1}{x-1}-x^2$. Como fracción común: $$R_1(x)=\frac{2x+1 - x^2(x-1)}{x-1}.$$ Expandir numerador: $$2x+1 - (x^3 - x^2)= -x^3 + x^2 +2x +1.$$ Luego $$R_1(x)=\frac{-x^3 + x^2 +2x +1}{x-1},\quad D_{R_1}=\{x\neq 1\}.$$ Resta 2: $R_2(x)=B(x)-A(x)=x^2 - \dfrac{2x+1}{x-1} = -R_1(x)$. Dominio igual $\{x\neq 1\}$ y propiedades opuestas en signo a $R_1$. 8. MULTIPLICACIONES (dos multiplicaciones). Multiplicación 1: $M_1(x)=A(x)\cdot B(x)=\dfrac{2x+1}{x-1}\cdot x^2 = \dfrac{x^2(2x+1)}{x-1}.$ Dominio: $x\neq 1$. No hay cancelación de factores comunes entre $x^2$ y $x-1$. Multiplicación 2: $M_2(x)=B(x)\cdot B(x)=x^2\cdot x^2 = x^4$. Dominio: $\mathbb{R}$. Paridad: $M_1$ no es par ni impar en general; $M_2$ es par. Crecimiento: $M_2$ es decreciente en $(-\infty,0]$ y creciente en $[0,\infty)$. 9. DIVISIONES (dos divisiones). División 1: $D_1(x)=\dfrac{A(x)}{B(x)}=\dfrac{\dfrac{2x+1}{x-1}}{x^2}=\dfrac{2x+1}{x^2(x-1)}.$ Dominio: excluir $x=0$ y $x=1$, luego $D_{D_1}=\{x\neq 0,1\}$. Si al simplificar se cancelara algo mostraríamos \cancel, aquí no hay factor común para cancelar. División 2: $D_2(x)=\dfrac{B(x)}{A(x)}=\dfrac{x^2}{\dfrac{2x+1}{x-1}} = x^2 \cdot \dfrac{x-1}{2x+1} = \dfrac{x^2(x-1)}{2x+1}.$ Dominio: excluir $x$ que anulen denominador original de $A$ ($x\neq 1$) y $2x+1\neq 0$ da $x\neq -\dfrac{1}{2}$. Por tanto $D_{D_2}=\{x\neq 1, x\neq -\tfrac{1}{2}\}$. Al pasar de la forma con fracción a la multiplicada se divide por $\dfrac{2x+1}{x-1}$; ese paso implica dividir por un factor y por eso mostramos una línea con cancelación simbólica al realizar la multiplicación inversa: $$\frac{\dfrac{x^2}{1}}{\dfrac{2x+1}{x-1}} = x^2 \cdot \frac{x-1}{2x+1} = \frac{x^2(x-1)}{2x+1}.$$ (Se ha 'cancelado' la estructura de división convirtiéndola en multiplicación por el inverso; no hay factor numérico idéntico para \cancelar entre numerador y denominador en esta expresión.) 10. FUNCIONES INVERSAS (dos inversas). Inversa de $A$: partir de $y=\dfrac{2x+1}{x-1}$. Resolver para $x$: $$y(x-1)=2x+1.$$ Expandir: $$yx - y = 2x +1.$$ Agrupar términos en $x$: $$yx - 2x = y + 1.$$ Factor común $x$: $$x(y-2)=y+1.$$ Dividir ambos lados por $y-2$ para despejar $x$; mostramos la línea con \cancel al dividir por el factor que separa: $$x = \frac{y+1}{\cancel{y-2}}\quad\text{(se divide por }y-2\text{ para despejar }x).$$ Intercambiando $x\leftrightarrow y$ obtenemos la inversa de $A$: $$A^{-1}(x)=\frac{x+1}{x-2},\quad D_{A^{-1}}=\{x\neq 2\}.$$ Observación sobre rango y dominio: el dominio de $A$ ($x\neq1$) se convierte en rango excluyendo aquel valor que correspondería a la asíntota horizontal/valores no alcanzados; igualmente $A^{-1}$ tiene dominio $x\neq 2$. Inversa de $B$: $B(x)=x^2$ no es inyectiva en todo $\mathbb{R}$, así que restringimos dominio a $[0,\infty)$ para obtener una inversa función. En $[0,\infty)$ la inversa principal es $$B^{-1}(x)=\sqrt{x},\quad D_{B^{-1}}=[0,\infty).$$ Aquí usamos la raíz principal (no negativa) para obtener una función inversa. 11. FUNCIONES COMPUESTAS (dos compuestas). Composición 1: $(A\circ B)(x)=A(B(x))=A(x^2)=\dfrac{2x^2+1}{x^2-1}.$ Dominio: debemos excluir valores donde el denominador sea cero, es decir $x^2-1=0\Rightarrow x=\pm1$. Por tanto $D_{A\circ B}=\{x\in\mathbb{R}:x\neq \pm1\}$. Composición 2: $(B\circ A)(x)=B(A(x))=(A(x))^2 = \left(\dfrac{2x+1}{x-1}\right)^2 = \dfrac{(2x+1)^2}{(x-1)^2}.$ Dominio: $x\neq 1$. Podemos observar que $(B\circ A)$ es no negativa para su dominio y además es par con respecto a transformaciones? En general no es par en $x$ porque la expresión no satisface $f(-x)=f(x)$ en general. 12. Comentarios sobre cancelaciones obligatorias: cuando se simplifican fracciones que contienen factores comunes habría que usar \cancel en la línea intermedia. Ejemplo de cancelación real (si se diera): si hubiéramos tenido $\dfrac{(x-1)(2x+3)}{x-1}$ podríamos escribir $$\frac{(x-1)(2x+3)}{\cancel{(x-1)}}=2x+3,\quad x\neq 1.$$ (Así se usa \cancel para mostrar la anulación del factor común.) 13. Resumen final de dominios y propiedades principales (resumiendo solo los resultados obtenidos explícitamente): - $A(x)=\dfrac{2x+1}{x-1}$: $D_A=\{x\neq1\}$, no par, no impar, comportamiento con asíntotas vertical en $x=1$. - $B(x)=x^2$: $D_B=\mathbb{R}$, par, decreciente en $(-\infty,0]$, creciente en $[0,\infty)$. - $S_1(x)=A+B$ y $S_2(x)=B+2A$: dominios $\{x\neq1\}$, no pares ni impares, rangos esencialmente todas las reales salvo valores aislados (análisis fino con polinomios necesario para valores exactos). - $R_1,R_2$: dominios $\{x\neq1\}$. - $M_1(x)=\dfrac{x^2(2x+1)}{x-1}$: dominio $\{x\neq1\}$; $M_2(x)=x^4$: dominio $\mathbb{R}$, par, decreciente en $(-\infty,0]$, creciente en $[0,\infty)$. - $D_1(x)=\dfrac{2x+1}{x^2(x-1)}$: dominio $x\neq0,1$. - $D_2(x)=\dfrac{x^2(x-1)}{2x+1}$: dominio $x\neq1,-\tfrac{1}{2}$. - $A^{-1}(x)=\dfrac{x+1}{x-2}$: dominio $x\neq2$. - $B^{-1}(x)=\sqrt{x}$ (inversa restringida): dominio $[0,\infty)$. - $(A\circ B)(x)=\dfrac{2x^2+1}{x^2-1}$: dominio $x\neq\pm1$. - $(B\circ A)(x)=\dfrac{(2x+1)^2}{(x-1)^2}$: dominio $x\neq1$. 14. Conclusión pedagógica: he mostrado cómo construir las funciones, cómo operar con ellas, y he indicado dominio, paridad y comportamiento monotónico básico; para rangos exactos y monotonicidad precisa de las expresiones racionales más complicadas se recomienda calcular la derivada y resolver ecuaciones polinómicas, procedimiento que puedo detallar si quieres que lo haga paso a paso para alguna expresión concreta.