1. Planteamos el problema: calcular las funciones compuestas $ (g \circ f)(x) $ y $ (f \circ g)(x) $ dadas las funciones $ g(x) = \frac{1}{x} $ y $ f(x) = \frac{x-1}{x+1} $.\n\n2. Recordemos que la composición de funciones se define como $ (g \circ f)(x) = g(f(x)) $ y $ (f \circ g)(x) = f(g(x)) $.\n\n3. Calculamos $ (g \circ f)(x) = g(f(x)) = g\left(\frac{x-1}{x+1}\right) = \frac{1}{\frac{x-1}{x+1}} $.\n\n4. Simplificamos la expresión usando la propiedad de división de fracciones: $$ \frac{1}{\frac{x-1}{x+1}} = \frac{1}{1} \times \frac{x+1}{x-1} = \frac{x+1}{x-1} $$.\n\n5. Calculamos $ (f \circ g)(x) = f(g(x)) = f\left(\frac{1}{x}\right) = \frac{\frac{1}{x} - 1}{\frac{1}{x} + 1} $.\n\n6. Simplificamos el numerador y denominador para tener un denominador común $x$: $$ \frac{\frac{1}{x} - 1}{\frac{1}{x} + 1} = \frac{\frac{1 - x}{x}}{\frac{1 + x}{x}} $$\n\n7. Simplificamos la división de fracciones: $$ \frac{\frac{1 - x}{x}}{\frac{1 + x}{x}} = \frac{1 - x}{x} \times \frac{x}{1 + x} = \frac{1 - x}{1 + x} $$.\n\n8. Resultado final:\n- $ (g \circ f)(x) = \frac{x+1}{x-1} $\n- $ (f \circ g)(x) = \frac{1 - x}{1 + x} $