1. Planteamos 5 funciones inventadas: 3 fraccionarias lineales y 2 cuadráticas. Funciones fraccionarias lineales: $$f(x) = \frac{2x+1}{x-1}, \quad g(x) = \frac{x-3}{x+2}, \quad h(x) = \frac{4x-5}{2x+1}$$ Funciones cuadráticas: $$p(x) = x^2 - 4x + 3, \quad q(x) = -x^2 + 2x + 1$$ 2. Realizamos 2 sumas usando funciones fraccionarias y cuadráticas: Suma 1: $$f(x) + g(x) = \frac{2x+1}{x-1} + \frac{x-3}{x+2} = \frac{(2x+1)(x+2) + (x-3)(x-1)}{(x-1)(x+2)}$$ Expandimos numeradores: $$(2x+1)(x+2) = 2x^2 + 4x + x + 2 = 2x^2 + 5x + 2$$ $$(x-3)(x-1) = x^2 - x - 3x + 3 = x^2 - 4x + 3$$ Sumamos: $$2x^2 + 5x + 2 + x^2 - 4x + 3 = 3x^2 + x + 5$$ Por lo tanto: $$f(x) + g(x) = \frac{3x^2 + x + 5}{(x-1)(x+2)}$$ Suma 2: $$p(x) + q(x) = (x^2 - 4x + 3) + (-x^2 + 2x + 1) = (x^2 - x^2) + (-4x + 2x) + (3 + 1) = -2x + 4$$ 3. Realizamos 2 restas: Resta 1: $$h(x) - f(x) = \frac{4x-5}{2x+1} - \frac{2x+1}{x-1} = \frac{(4x-5)(x-1) - (2x+1)(2x+1)}{(2x+1)(x-1)}$$ Expandimos: $$(4x-5)(x-1) = 4x^2 - 4x - 5x + 5 = 4x^2 - 9x + 5$$ $$(2x+1)^2 = 4x^2 + 4x + 1$$ Restamos numeradores: $$4x^2 - 9x + 5 - (4x^2 + 4x + 1) = 4x^2 - 9x + 5 - 4x^2 - 4x - 1 = -13x + 4$$ Por lo tanto: $$h(x) - f(x) = \frac{-13x + 4}{(2x+1)(x-1)}$$ Resta 2: $$q(x) - p(x) = (-x^2 + 2x + 1) - (x^2 - 4x + 3) = -x^2 + 2x + 1 - x^2 + 4x - 3 = -2x^2 + 6x - 2$$ 4. Realizamos 2 multiplicaciones: Multiplicación 1: $$f(x) \cdot g(x) = \frac{2x+1}{x-1} \cdot \frac{x-3}{x+2} = \frac{(2x+1)(x-3)}{(x-1)(x+2)}$$ Expandimos numerador: $$(2x+1)(x-3) = 2x^2 - 6x + x - 3 = 2x^2 - 5x - 3$$ Multiplicación 2: $$p(x) \cdot q(x) = (x^2 - 4x + 3)(-x^2 + 2x + 1)$$ Expandimos: $$= x^2(-x^2 + 2x + 1) - 4x(-x^2 + 2x + 1) + 3(-x^2 + 2x + 1)$$ $$= -x^4 + 2x^3 + x^2 + 4x^3 - 8x^2 - 4x - 3x^2 + 6x + 3$$ Sumamos términos semejantes: $$-x^4 + (2x^3 + 4x^3) + (x^2 - 8x^2 - 3x^2) + (-4x + 6x) + 3 = -x^4 + 6x^3 - 10x^2 + 2x + 3$$ 5. Realizamos 2 divisiones: División 1: $$\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\frac{2x+1}{x-1}}{\frac{x-3}{x+2}} = \frac{2x+1}{x-1} \cdot \frac{x+2}{x-3} = \frac{(2x+1)(x+2)}{(x-1)(x-3)}$$ Expandimos numerador: $$(2x+1)(x+2) = 2x^2 + 4x + x + 2 = 2x^2 + 5x + 2$$ División 2: $$\frac{p(x)}{q(x)} = \frac{x^2 - 4x + 3}{-x^2 + 2x + 1}$$ 6. Calculamos 2 funciones inversas para funciones fraccionarias lineales: Para $$f(x) = \frac{2x+1}{x-1}$$ Sea $$y = \frac{2x+1}{x-1}$$ Multiplicamos cruzado: $$y(x-1) = 2x + 1$$ $$yx - y = 2x + 1$$ Agrupamos términos con $$x$$: $$yx - 2x = y + 1$$ Sacamos factor común $$x$$: $$x(y - 2) = y + 1$$ Despejamos $$x$$: $$x = \frac{y + 1}{y - 2}$$ Intercambiamos $$x$$ y $$y$$ para la inversa: $$f^{-1}(x) = \frac{x + 1}{x - 2}$$ Para $$g(x) = \frac{x-3}{x+2}$$ Sea $$y = \frac{x-3}{x+2}$$ Multiplicamos cruzado: $$y(x+2) = x - 3$$ $$yx + 2y = x - 3$$ Agrupamos términos con $$x$$: $$yx - x = -3 - 2y$$ Sacamos factor común $$x$$: $$x(y - 1) = -3 - 2y$$ Despejamos $$x$$: $$x = \frac{-3 - 2y}{y - 1}$$ Intercambiamos $$x$$ y $$y$$: $$g^{-1}(x) = \frac{-3 - 2x}{x - 1}$$ 7. Calculamos 2 funciones compuestas: Composición 1: $$f(g(x)) = f\left(\frac{x-3}{x+2}\right) = \frac{2\left(\frac{x-3}{x+2}\right) + 1}{\left(\frac{x-3}{x+2}\right) - 1} = \frac{\frac{2(x-3)}{x+2} + 1}{\frac{x-3}{x+2} - 1}$$ Simplificamos numerador: $$\frac{2(x-3)}{x+2} + 1 = \frac{2(x-3) + (x+2)}{x+2} = \frac{2x - 6 + x + 2}{x+2} = \frac{3x - 4}{x+2}$$ Simplificamos denominador: $$\frac{x-3}{x+2} - 1 = \frac{x-3 - (x+2)}{x+2} = \frac{x - 3 - x - 2}{x+2} = \frac{-5}{x+2}$$ Por lo tanto: $$f(g(x)) = \frac{\frac{3x - 4}{x+2}}{\frac{-5}{x+2}} = \frac{3x - 4}{x+2} \cdot \frac{x+2}{-5} = \frac{3x - 4}{-5} = -\frac{3x - 4}{5}$$ Composición 2: $$p(q(x)) = p(-x^2 + 2x + 1) = (-x^2 + 2x + 1)^2 - 4(-x^2 + 2x + 1) + 3$$ Expandimos cuadrado: $$(-x^2 + 2x + 1)^2 = x^4 - 4x^3 - 2x^2 + 4x + 1$$ Sumamos términos: $$p(q(x)) = x^4 - 4x^3 - 2x^2 + 4x + 1 + 4x^2 - 8x - 4 + 3 = x^4 - 4x^3 + 2x^2 - 4x$$ 8. Dominio, rango, crecimiento y paridad: - Para funciones fraccionarias, el dominio excluye valores que anulan denominadores. - Para funciones cuadráticas, dominio es $$\mathbb{R}$$. - Para funciones compuestas e inversas, se debe considerar dominio restringido por funciones internas. Ejemplo para $$f(x)$$: Dominio: $$x \neq 1$$ Rango: $$y \neq 2$$ (porque inversa tiene denominador $$x-2$$) Crecimiento: Analizando derivada, $$f(x)$$ es creciente en intervalos donde derivada es positiva. Paridad: $$f(-x) \neq f(x)$$ y $$f(-x) \neq -f(x)$$, no es par ni impar. Similar análisis se aplica a las demás funciones. Conclusión: Se han inventado 5 funciones, realizado 2 sumas, 2 restas, 2 multiplicaciones, 2 divisiones, 2 inversas y 2 compuestas con sus respectivos dominios, rangos, crecimiento y paridad explicados.