1. Planteamos el problema: Dadas las funciones $$f(x) = x^2 + 2x - 1$$ $$g(x) = 2x^2 - 3$$ $$h(x) = 3x + \frac{1}{6}$$ $$i(x) = x$$ Calcularemos las expresiones solicitadas. 2. Suma de funciones: $$f(x) + g(x) = (x^2 + 2x - 1) + (2x^2 - 3)$$ Simplificamos términos semejantes: $$= x^2 + 2x - 1 + 2x^2 - 3 = (x^2 + 2x^2) + 2x + (-1 - 3) = 3x^2 + 2x - 4$$ 3. Resta de funciones: $$h(x) - i(x) = \left(3x + \frac{1}{6}\right) - x = 3x + \frac{1}{6} - x = (3x - x) + \frac{1}{6} = 2x + \frac{1}{6}$$ 4. Resta de funciones: $$f(x) - g(x) = (x^2 + 2x - 1) - (2x^2 - 3) = x^2 + 2x - 1 - 2x^2 + 3 = (x^2 - 2x^2) + 2x + (-1 + 3) = -x^2 + 2x + 2$$ 5. Producto de funciones: $$g(x) \cdot f(x) = (2x^2 - 3)(x^2 + 2x - 1)$$ Multiplicamos término a término: $$= 2x^2 \cdot x^2 + 2x^2 \cdot 2x + 2x^2 \cdot (-1) - 3 \cdot x^2 - 3 \cdot 2x + (-3) \cdot (-1)$$ $$= 2x^4 + 4x^3 - 2x^2 - 3x^2 - 6x + 3 = 2x^4 + 4x^3 - 5x^2 - 6x + 3$$ 6. Producto de funciones: $$g(x) \cdot i(x) = (2x^2 - 3) \cdot x = 2x^3 - 3x$$ 7. Producto con suma: $$f(x) \cdot (g(x) + i(x)) = (x^2 + 2x - 1) \cdot \big((2x^2 - 3) + x\big) = (x^2 + 2x - 1)(2x^2 - 3 + x)$$ Simplificamos el paréntesis: $$= (x^2 + 2x - 1)(2x^2 + x - 3)$$ Multiplicamos término a término: $$= x^2 \cdot 2x^2 + x^2 \cdot x + x^2 \cdot (-3) + 2x \cdot 2x^2 + 2x \cdot x + 2x \cdot (-3) - 1 \cdot 2x^2 - 1 \cdot x - 1 \cdot (-3)$$ $$= 2x^4 + x^3 - 3x^2 + 4x^3 + 2x^2 - 6x - 2x^2 - x + 3$$ Sumamos términos semejantes: $$= 2x^4 + (x^3 + 4x^3) + (-3x^2 + 2x^2 - 2x^2) + (-6x - x) + 3 = 2x^4 + 5x^3 - 3x^2 - 7x + 3$$ 8. Producto de funciones: $$h(x) \cdot f(x) = \left(3x + \frac{1}{6}\right)(x^2 + 2x - 1)$$ Multiplicamos término a término: $$= 3x \cdot x^2 + 3x \cdot 2x + 3x \cdot (-1) + \frac{1}{6} \cdot x^2 + \frac{1}{6} \cdot 2x + \frac{1}{6} \cdot (-1)$$ $$= 3x^3 + 6x^2 - 3x + \frac{1}{6}x^2 + \frac{1}{3}x - \frac{1}{6}$$ Sumamos términos semejantes: $$= 3x^3 + \left(6x^2 + \frac{1}{6}x^2\right) + \left(-3x + \frac{1}{3}x\right) - \frac{1}{6} = 3x^3 + \frac{37}{6}x^2 - \frac{8}{3}x - \frac{1}{6}$$ 9. Producto de funciones: $$g(x) \cdot h(x) = (2x^2 - 3) \cdot \left(3x + \frac{1}{6}\right)$$ Multiplicamos término a término: $$= 2x^2 \cdot 3x + 2x^2 \cdot \frac{1}{6} - 3 \cdot 3x - 3 \cdot \frac{1}{6} = 6x^3 + \frac{2}{6}x^2 - 9x - \frac{3}{6}$$ Simplificamos fracciones: $$= 6x^3 + \frac{1}{3}x^2 - 9x - \frac{1}{2}$$ 10. Resta de funciones: $$f(x) - i(x) = (x^2 + 2x - 1) - x = x^2 + 2x - 1 - x = x^2 + (2x - x) - 1 = x^2 + x - 1$$ 11. Resta de funciones: $$h(x) - f(x) = \left(3x + \frac{1}{6}\right) - (x^2 + 2x - 1) = 3x + \frac{1}{6} - x^2 - 2x + 1 = -x^2 + (3x - 2x) + \left(\frac{1}{6} + 1\right) = -x^2 + x + \frac{7}{6}$$ Respuesta final: $$\boxed{\begin{cases} f(x) + g(x) = 3x^2 + 2x - 4 \\ h(x) - i(x) = 2x + \frac{1}{6} \\ f(x) - g(x) = -x^2 + 2x + 2 \\ g(x) \cdot f(x) = 2x^4 + 4x^3 - 5x^2 - 6x + 3 \\ g(x) \cdot i(x) = 2x^3 - 3x \\ f(x) \cdot (g(x) + i(x)) = 2x^4 + 5x^3 - 3x^2 - 7x + 3 \\ h(x) \cdot f(x) = 3x^3 + \frac{37}{6}x^2 - \frac{8}{3}x - \frac{1}{6} \\ g(x) \cdot h(x) = 6x^3 + \frac{1}{3}x^2 - 9x - \frac{1}{2} \\ f(x) - i(x) = x^2 + x - 1 \\ h(x) - f(x) = -x^2 + x + \frac{7}{6} \end{cases}}$$