1. Vamos resolver a primeira questão do enunciado, que é: Determine $f(4)$ e $g(-3)$ para as funções dadas $f(x) = |2x - 6|$ e $g(x) = 2 - |x - 1|$. 2. Para calcular $f(4)$, substituímos $x=4$ em $f(x)$: $$f(4) = |2(4) - 6| = |8 - 6| = |2| = 2$$ 3. Para calcular $g(-3)$, substituímos $x=-3$ em $g(x)$: $$g(-3) = 2 - |-3 - 1| = 2 - |-4| = 2 - 4 = -2$$ 4. Agora, determinamos o ponto de interseção do gráfico de $f$ com o eixo das ordenadas (eixo $y$). O eixo $y$ corresponde a $x=0$: $$f(0) = |2(0) - 6| = |-6| = 6$$ O ponto de interseção é $(0,6)$. 5. Definimos as funções $f$ e $g$ sem o símbolo de módulo, usando funções ramificadas: Para $f(x) = |2x - 6|$: - Se $2x - 6 \geq 0 \Rightarrow x \geq 3$, então $f(x) = 2x - 6$ - Se $2x - 6 < 0 \Rightarrow x < 3$, então $f(x) = -(2x - 6) = -2x + 6$ Assim, $$f(x) = \begin{cases} -2x + 6, & x < 3 \\ 2x - 6, & x \geq 3 \end{cases}$$ Para $g(x) = 2 - |x - 1|$: - Se $x - 1 \geq 0 \Rightarrow x \geq 1$, então $g(x) = 2 - (x - 1) = 3 - x$ - Se $x - 1 < 0 \Rightarrow x < 1$, então $g(x) = 2 - (-(x - 1)) = 2 + x - 1 = x + 1$ Assim, $$g(x) = \begin{cases} x + 1, & x < 1 \\ 3 - x, & x \geq 1 \end{cases}$$ 6. Determinamos os zeros da função $g$, ou seja, os valores de $x$ para os quais $g(x) = 0$. Para $x < 1$: $$x + 1 = 0 \Rightarrow x = -1$$ Para $x \geq 1$: $$3 - x = 0 \Rightarrow x = 3$$ Portanto, os zeros de $g$ são $x = -1$ e $x = 3$. 7. Determinamos o contradomínio das funções $f$ e $g$. Para $f(x) = |2x - 6|$, o valor absoluto é sempre não negativo, então: $$\text{contradomínio de } f = [0, +\infty)$$ Para $g(x) = 2 - |x - 1|$, o valor máximo ocorre quando $|x - 1| = 0$, ou seja, em $x=1$: $$g(1) = 2 - 0 = 2$$ Como $|x - 1|$ pode crescer indefinidamente, $g(x)$ pode ser tão pequeno quanto quiser, tendendo a $-\infty$. Portanto, $$\text{contradomínio de } g = (-\infty, 2]$$ 8. Agora, para as funções $f(x) = |x - 2| - 1$ e $g(x) = |x + 5| - 2$, definimos as funções ramificadas sem o símbolo de módulo: Para $f(x)$: - Se $x - 2 \geq 0 \Rightarrow x \geq 2$, então $$f(x) = (x - 2) - 1 = x - 3$$ - Se $x - 2 < 0 \Rightarrow x < 2$, então $$f(x) = -(x - 2) - 1 = -x + 2 - 1 = -x + 1$$ Assim, $$f(x) = \begin{cases} -x + 1, & x < 2 \\ x - 3, & x \geq 2 \end{cases}$$ Para $g(x)$: - Se $x + 5 \geq 0 \Rightarrow x \geq -5$, então $$g(x) = (x + 5) - 2 = x + 3$$ - Se $x + 5 < 0 \Rightarrow x < -5$, então $$g(x) = -(x + 5) - 2 = -x - 5 - 2 = -x - 7$$ Assim, $$g(x) = \begin{cases} -x - 7, & x < -5 \\ x + 3, & x \geq -5 \end{cases}$$ 9. Os pontos $A$ e $B$ pertencem ao eixo das abscissas (eixo $x$) e são pontos dos gráficos de $g$ e $f$, respectivamente. Portanto, $A$ é zero de $g$ e $B$ é zero de $f$. Para encontrar $A$, resolvemos $g(x) = 0$: Para $x < -5$: $$-x - 7 = 0 \Rightarrow -x = 7 \Rightarrow x = -7$$ Como $-7 < -5$, $x = -7$ é válido. Para $x \geq -5$: $$x + 3 = 0 \Rightarrow x = -3$$ Como $-3 \geq -5$, $x = -3$ também é válido. Portanto, $g$ tem zeros em $x = -7$ e $x = -3$. Como o enunciado diz que $A$ pertence ao eixo das abscissas e é ponto do gráfico de $g$, escolhemos $A = (-7, 0)$ ou $A = (-3, 0)$. O gráfico sugere que $A$ é o zero menor, então $A = (-7, 0)$. Para encontrar $B$, resolvemos $f(x) = 0$: Para $x < 2$: $$-x + 1 = 0 \Rightarrow x = 1$$ Como $1 < 2$, $x=1$ é válido. Para $x \geq 2$: $$x - 3 = 0 \Rightarrow x = 3$$ Como $3 \geq 2$, $x=3$ é válido. Portanto, $f$ tem zeros em $x=1$ e $x=3$. O gráfico sugere que $B$ é o zero maior, então $B = (3, 0)$. 10. O ponto $C$ é o ponto de interseção entre os gráficos de $f$ e $g$, ou seja, $f(x) = g(x)$. Vamos resolver $f(x) = g(x)$ considerando as ramificações: - Para $x < -5$: $$f(x) = -x + 1$$ $$g(x) = -x - 7$$ Igualando: $$-x + 1 = -x - 7$$ $$1 = -7$$ Falso, sem solução aqui. - Para $-5 \leq x < 2$: $$f(x) = -x + 1$$ $$g(x) = x + 3$$ Igualando: $$-x + 1 = x + 3$$ $$1 - 3 = x + x$$ $$-2 = 2x$$ $$x = -1$$ Como $-5 \leq -1 < 2$, $x = -1$ é solução válida. Calculamos $y$: $$f(-1) = -(-1) + 1 = 1 + 1 = 2$$ Logo, $C = (-1, 2)$. - Para $x \geq 2$: $$f(x) = x - 3$$ $$g(x) = x + 3$$ Igualando: $$x - 3 = x + 3$$ $$-3 = 3$$ Falso, sem solução aqui. 11. Finalmente, calculamos a área do triângulo $ABC$ com vértices $A(-7,0)$, $B(3,0)$ e $C(-1,2)$. A base do triângulo é o segmento $AB$ no eixo $x$: $$\text{base} = |3 - (-7)| = 10$$ A altura é a distância vertical do ponto $C$ ao eixo $x$: $$\text{altura} = 2$$ A área do triângulo é: $$\text{área} = \frac{1}{2} \times \text{base} \times \text{altura} = \frac{1}{2} \times 10 \times 2 = 10$$ Resposta final: A área do triângulo $ABC$ é $10$ unidades de área.