1. **Planteamiento del problema:** Se tiene el sistema de ecuaciones lineales: $$\begin{cases} 6x - 10y + 14z = 8 \\ 21x + 14y - 28z = 14 \\ 15x - 25y + 35z = 20 \\ 15x + 10y - 20z = 10 \end{cases}$$ Se debe resolver usando el método de Gauss-Jordan, que consiste en transformar la matriz aumentada del sistema en la matriz identidad mediante operaciones elementales de fila. 2. **Construcción de la matriz aumentada:** $$\left[ \begin{array}{ccc|c} 6 & -10 & 14 & 8 \\ 21 & 14 & -28 & 14 \\ 15 & -25 & 35 & 20 \\ 15 & 10 & -20 & 10 \end{array} \right]$$ 3. **Paso 1: Hacer que el elemento (1,1) sea 1 dividiendo la fila 1 entre 6:** $$F_1 \to \frac{1}{6}F_1: \left[ \begin{array}{ccc|c} 1 & -\frac{5}{3} & \frac{7}{3} & \frac{4}{3} \\ 21 & 14 & -28 & 14 \\ 15 & -25 & 35 & 20 \\ 15 & 10 & -20 & 10 \end{array} \right]$$ 4. **Paso 2: Anular los elementos debajo del pivote (1,1):** - $F_2 \to F_2 - 21F_1$ - $F_3 \to F_3 - 15F_1$ - $F_4 \to F_4 - 15F_1$ Calculamos cada fila: Para $F_2$: $$21 - 21 \times 1 = 0$$ $$14 - 21 \times \left(-\frac{5}{3}\right) = 14 + 35 = 49$$ $$-28 - 21 \times \frac{7}{3} = -28 - 49 = -77$$ $$14 - 21 \times \frac{4}{3} = 14 - 28 = -14$$ Para $F_3$: $$15 - 15 \times 1 = 0$$ $$-25 - 15 \times \left(-\frac{5}{3}\right) = -25 + 25 = 0$$ $$35 - 15 \times \frac{7}{3} = 35 - 35 = 0$$ $$20 - 15 \times \frac{4}{3} = 20 - 20 = 0$$ Para $F_4$: $$15 - 15 \times 1 = 0$$ $$10 - 15 \times \left(-\frac{5}{3}\right) = 10 + 25 = 35$$ $$-20 - 15 \times \frac{7}{3} = -20 - 35 = -55$$ $$10 - 15 \times \frac{4}{3} = 10 - 20 = -10$$ La matriz queda: $$\left[ \begin{array}{ccc|c} 1 & -\frac{5}{3} & \frac{7}{3} & \frac{4}{3} \\ 0 & 49 & -77 & -14 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 35 & -55 & -10 \end{array} \right]$$ 5. **Paso 3: Hacer que el pivote (2,2) sea 1 dividiendo la fila 2 entre 49:** $$F_2 \to \frac{1}{49}F_2: \left[ \begin{array}{ccc|c} 1 & -\frac{5}{3} & \frac{7}{3} & \frac{4}{3} \\ 0 & 1 & -\frac{77}{49} & -\frac{14}{49} \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 35 & -55 & -10 \end{array} \right]$$ 6. **Paso 4: Anular los elementos en la columna 2 excepto el pivote:** - $F_1 \to F_1 + \frac{5}{3}F_2$ - $F_4 \to F_4 - 35F_2$ Calculamos: Para $F_1$: $$-\frac{5}{3} + \frac{5}{3} \times 1 = 0$$ $$\frac{7}{3} + \frac{5}{3} \times \left(-\frac{77}{49}\right) = \frac{7}{3} - \frac{385}{147} = \frac{7}{3} - \frac{385}{147}$$ Simplificamos: $$\frac{7}{3} = \frac{343}{147}$$ $$\frac{343}{147} - \frac{385}{147} = -\frac{42}{147} = -\frac{2}{7}$$ Para el término independiente: $$\frac{4}{3} + \frac{5}{3} \times \left(-\frac{14}{49}\right) = \frac{4}{3} - \frac{70}{147} = \frac{4}{3} - \frac{10}{21}$$ Convertimos a común denominador 21: $$\frac{4}{3} = \frac{28}{21}$$ $$\frac{28}{21} - \frac{10}{21} = \frac{18}{21} = \frac{6}{7}$$ Para $F_4$: $$35 - 35 \times 1 = 0$$ $$-55 - 35 \times \left(-\frac{77}{49}\right) = -55 + 55 = 0$$ $$-10 - 35 \times \left(-\frac{14}{49}\right) = -10 + 10 = 0$$ La matriz queda: $$\left[ \begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & -\frac{2}{7} & \frac{6}{7} \\ 0 & 1 & -\frac{77}{49} & -\frac{14}{49} \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right]$$ 7. **Paso 5: Como las filas 3 y 4 son nulas, el sistema tiene infinitas soluciones y depende de un parámetro. Sea $z = t$ un parámetro libre.** 8. **Paso 6: Expresar $x$ y $y$ en función de $t$:** De la fila 2: $$y - \frac{77}{49}z = -\frac{14}{49} \Rightarrow y = -\frac{14}{49} + \frac{77}{49}t = -\frac{2}{7} + \frac{11}{7}t$$ De la fila 1: $$x - \frac{2}{7}z = \frac{6}{7} \Rightarrow x = \frac{6}{7} + \frac{2}{7}t$$ 9. **Solución general:** $$\boxed{\left\{ \begin{array}{l} x = \frac{6}{7} + \frac{2}{7}t \\ y = -\frac{2}{7} + \frac{11}{7}t \\ z = t \end{array} \right., \quad t \in \mathbb{R}}$$