1. Planteamos el problema: Resolver un sistema de dos ecuaciones lineales con tres incógnitas usando el método de eliminación gaussiana. 2. El método de eliminación gaussiana consiste en transformar el sistema en una forma escalonada para facilitar la solución. 3. Supongamos el sistema: $$\begin{cases} a_1x + b_1y + c_1z = d_1 \\ a_2x + b_2y + c_2z = d_2 \end{cases}$$ 4. Escribimos la matriz aumentada: $$\left[\begin{array}{ccc|c} a_1 & b_1 & c_1 & d_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 & d_2 \end{array}\right]$$ 5. Aplicamos operaciones elementales para obtener ceros debajo del pivote en la primera columna: Por ejemplo, si $a_1 \neq 0$, multiplicamos la fila 1 por $\frac{a_2}{a_1}$ y restamos a la fila 2: $$\text{Fila}_2 \to \text{Fila}_2 - \frac{a_2}{a_1} \times \text{Fila}_1$$ 6. Mostramos la cancelación: $$\left[\begin{array}{ccc|c} a_1 & b_1 & c_1 & d_1 \\ \cancel{a_2} & b_2 - \frac{a_2}{a_1}b_1 & c_2 - \frac{a_2}{a_1}c_1 & d_2 - \frac{a_2}{a_1}d_1 \end{array}\right]$$ 7. Ahora el sistema está en forma escalonada: $$\begin{cases} a_1x + b_1y + c_1z = d_1 \\ 0 \cdot x + (b_2 - \frac{a_2}{a_1}b_1)y + (c_2 - \frac{a_2}{a_1}c_1)z = d_2 - \frac{a_2}{a_1}d_1 \end{cases}$$ 8. Como hay tres incógnitas y solo dos ecuaciones, el sistema tiene infinitas soluciones que se expresan en función de una variable libre, por ejemplo $z = t$. 9. Despejamos $y$ de la segunda ecuación: $$y = \frac{d_2 - \frac{a_2}{a_1}d_1 - (c_2 - \frac{a_2}{a_1}c_1)t}{b_2 - \frac{a_2}{a_1}b_1}$$ 10. Finalmente, sustituimos $y$ y $z$ en la primera ecuación para despejar $x$: $$x = \frac{d_1 - b_1y - c_1t}{a_1}$$ 11. Así, la solución general es: $$\left(x, y, z\right) = \left( \frac{d_1 - b_1y - c_1t}{a_1}, \frac{d_2 - \frac{a_2}{a_1}d_1 - (c_2 - \frac{a_2}{a_1}c_1)t}{b_2 - \frac{a_2}{a_1}b_1}, t \right)$$ 12. En resumen, el método de eliminación gaussiana permite simplificar el sistema para expresar las variables en función de una variable libre cuando hay más incógnitas que ecuaciones.