1. Planteamiento del problema: Resolver la inecuación $$\frac{x+5}{x-3} \leq 2x + 1$$ y determinar el intervalo solución. 2. Pasamos todos los términos a un solo lado para comparar con cero: $$\frac{x+5}{x-3} - (2x + 1) \leq 0$$ 3. Encontramos un denominador común y simplificamos: $$\frac{x+5}{x-3} - \frac{(2x+1)(x-3)}{x-3} \leq 0$$ 4. Expandimos el numerador: $$(x+5) - (2x+1)(x-3) = (x+5) - (2x^2 -6x + x -3) = (x+5) - (2x^2 -5x -3)$$ 5. Simplificamos el numerador: $$x + 5 - 2x^2 + 5x + 3 = -2x^2 + 6x + 8$$ 6. La inecuación queda: $$\frac{-2x^2 + 6x + 8}{x-3} \leq 0$$ 7. Factorizamos el numerador: $$-2x^2 + 6x + 8 = -2(x^2 - 3x - 4) = -2(x - 4)(x + 1)$$ 8. Entonces: $$\frac{-2(x - 4)(x + 1)}{x - 3} \leq 0$$ 9. Simplificamos el factor -2 (constante negativa) y recordamos que multiplicar o dividir por un número negativo invierte la desigualdad: $$\frac{(x - 4)(x + 1)}{x - 3} \geq 0$$ 10. Encontramos los puntos críticos donde el numerador o denominador es cero: $$x = 4, x = -1, x = 3$$ 11. Dividimos la recta real en intervalos según estos puntos y evaluamos el signo de la expresión: - Para $x < -1$: $(x-4)<0$, $(x+1)<0$, $(x-3)<0$; producto numerador positivo (negativo por negativo), denominador negativo, fracción negativa. - Para $-1 < x < 3$: $(x-4)<0$, $(x+1)>0$, $(x-3)<0$; numerador negativo, denominador negativo, fracción positiva. - Para $3 < x < 4$: $(x-4)<0$, $(x+1)>0$, $(x-3)>0$; numerador negativo, denominador positivo, fracción negativa. - Para $x > 4$: $(x-4)>0$, $(x+1)>0$, $(x-3)>0$; numerador positivo, denominador positivo, fracción positiva. 12. La inecuación pide fracción mayor o igual a cero, entonces la solución es: $$[-1, 3) \cup [4, \infty)$$ 13. Nota: $x=3$ no está en el dominio porque hace el denominador cero. --- Respuesta final: $$\boxed{[-1, 3) \cup [4, \infty)}$$