Inecuaciones Lineales 7Cae4E

1. Selecciona las inecuaciones lineales con una incógnita. Una inecuación lineal con una incógnita es una desigualdad que involucra una variable elevada a la potencia 1 y no contiene productos entre variables. Las opciones son: - a. 2x + 3 (no es una inecuación, es una expresión) - b. 3x - 4 \leq 5 (sí es una inecuación lineal con una incógnita) - c. -8 > -20 (no tiene incógnita) - d. x + y \geq 3 (tiene dos incógnitas) - e. -2y < 3,5 (una incógnita, pero variable y) - f. 4z + 2,5 \geq 0 (una incógnita, variable z) - g. x^{2} + x < -6 (no es lineal, x^{2} es cuadrático) - \frac{x-5}{6} + x > 2x - 5 (sí es lineal, ya que la variable está a la potencia 1) Por lo tanto, las inecuaciones lineales con una incógnita son: b, e, f, y la última fracción con x. 2. Explica los errores cometidos en cada afirmación. a. Si 10 < 16, entonces 10 - 5 > 16 - 5. - Error: Al restar el mismo número a ambos lados, la desigualdad se mantiene, no se invierte. - Correcto: 10 - 5 < 16 - 5. b. Si 15 > 8, entonces 15(-2) > 8(-2). - Error: Al multiplicar por un número negativo, la desigualdad se invierte. - Correcto: 15(-2) < 8(-2). c. Si 10,5 \leq x, entonces 10,5 + 15 \geq x + 15. - Error: Al sumar el mismo número a ambos lados, la desigualdad se mantiene igual. - Correcto: 10,5 + 15 \leq x + 15. d. Si y \geq -2, entonces -12y < 24. - Error: Multiplicar por un número negativo invierte la desigualdad. - Correcto: -12y \leq 24. e. Si -x < y, entonces x > y. - Error: Multiplicar por -1 invierte la desigualdad. - Correcto: x > -y. 3. Escribe el signo <, >, \leq o \geq, según corresponda. a. Si a < b, entonces a - 5 < b - 5. b. Si \frac{3}{5} ____ t, entonces -\frac{6}{5} \leq -2t. - Multiplicando por -2 invierte la desigualdad, por lo que si \frac{3}{5} < t, entonces -\frac{6}{5} > -2t. c. Si h > 0, entonces h + 3,6 > 3,6. d. Si n - 1 \geq 3, entonces -n + 1 \leq -3. e. Si 2,4 ____ 5, entonces -2,4 ____ -5. - Si 2,4 < 5, entonces -2,4 > -5. 4. Determina dos valores que sean solución de cada inecuación, y dos valores que no lo sean. Para cada inecuación, despejamos y evaluamos: a. x + 2 \leq 5 \Rightarrow x \leq 3. - Soluciones: x=3, x=0. - No soluciones: x=4, x=5. b. \frac{2}{3}x > 1 \Rightarrow x > \frac{3}{2} = 1.5. - Soluciones: x=2, x=3. - No soluciones: x=1, x=0. c. 5x \geq 2 \Rightarrow x \geq \frac{2}{5} = 0.4. - Soluciones: x=1, x=0.5. - No soluciones: x=0, x=0.3. d. 3x < 0 \Rightarrow x < 0. - Soluciones: x=-1, x=-0.5. - No soluciones: x=0, x=1. e. 4 - x > -3 \Rightarrow -x > -7 \Rightarrow x < 7. - Soluciones: x=0, x=6. - No soluciones: x=7, x=8. f. \frac{x-1}{2} < 1 \Rightarrow x-1 < 2 \Rightarrow x < 3. - Soluciones: x=0, x=2. - No soluciones: x=3, x=4. g. 2y + 6 < 12 \Rightarrow 2y < 6 \Rightarrow y < 3. - Soluciones: y=0, y=2. - No soluciones: y=3, y=4. h. m - 20 > 35 \Rightarrow m > 55. - Soluciones: m=56, m=60. - No soluciones: m=55, m=50. 5. Expresa cada enunciado algebraicamente e indica si es o no una inecuación lineal con una incógnita. a. El doble de un número es 7. - Algebraicamente: 2x = 7. - No es inecuación, es ecuación lineal. b. La distancia a la casa es menor que 1 km. - Algebraicamente: d < 1. - Sí es inecuación lineal con una incógnita. c. Manuel tiene 8 años y Alejandra 15 años. - Algebraicamente: m=8, a=15. - No es inecuación. d. El sueldo de Felipe está entre un millón y un millón doscientos. - Algebraicamente: 1000000 \leq s \leq 1200000. - Sí es inecuación lineal con una incógnita. e. La estatura de Javier es más de 170 cm. - Algebraicamente: e > 170. - Sí es inecuación lineal con una incógnita. f. La capacidad de un tanque aumentada en 250 es máximo 1500 L. - Algebraicamente: c + 250 \leq 1500. - Sí es inecuación lineal con una incógnita. g. La temperatura en una ciudad aumentada en tres grados es menor que 18 °C. - Algebraicamente: t + 3 < 18. - Sí es inecuación lineal con una incógnita. h. El peso de un niño aumentado en 5 kg es mayor que 14 kilogramos. - Algebraicamente: p + 5 > 14. - Sí es inecuación lineal con una incógnita. i. La temperatura de una sustancia disminuida en 1 grado es -0,5 grados. - Algebraicamente: t - 1 = -0.5. - No es inecuación, es ecuación lineal. 6. Calcula los valores de x que satisfacen la inecuación y representa la solución en notación de intervalo. a. 5 + x < 4 \Rightarrow x < -1. - Intervalo: (-\infty, -1). b. -0.5m - 2.6 \geq 4 \Rightarrow -0.5m \geq 6.6 \Rightarrow m \leq \frac{6.6}{-0.5} = -13.2. - Intervalo: (-\infty, -13.2]. c. 2x + 3 < 1 \Rightarrow 2x < -2 \Rightarrow x < -1. - Intervalo: (-\infty, -1). d. 7 - 3x > 25 \Rightarrow -3x > 18 \Rightarrow x < -6. - Intervalo: (-\infty, -6). e. 14x + 5 > 5 \Rightarrow 14x > 0 \Rightarrow x > 0. - Intervalo: (0, \infty). f. \frac{x}{3} - 2x < 6 \Rightarrow \frac{x}{3} - \frac{6x}{3} < 6 \Rightarrow -\frac{5x}{3} < 6 \Rightarrow 5x/3 > -6 \Rightarrow x > -\frac{18}{5} = -3.6. - Intervalo: (-3.6, \infty). g. 3x + 2 > 8x - 1 \Rightarrow 3x - 8x > -1 - 2 \Rightarrow -5x > -3 \Rightarrow x < \frac{3}{5} = 0.6. - Intervalo: (-\infty, 0.6). h. -5.6 + 5n \leq 4.3n + 5.6 \Rightarrow 5n - 4.3n \leq 5.6 + 5.6 \Rightarrow 0.7n \leq 11.2 \Rightarrow n \leq \frac{11.2}{0.7} = 16. - Intervalo: (-\infty, 16]. i. -3.4z + \frac{1}{2} > -\frac{5}{6} \Rightarrow -3.4z > -\frac{5}{6} - \frac{1}{2} = -\frac{5}{6} - \frac{3}{6} = -\frac{8}{6} = -\frac{4}{3} \Rightarrow z < \frac{-4/3}{-3.4} = \frac{4/3}{3.4} = \frac{4}{3 \times 3.4} = \frac{4}{10.2} \approx 0.392. - Intervalo: (-\infty, 0.392). j. -3 + 2(5 - x) + 3x \leq -\frac{1}{2}x + 1 Desarrollamos: -3 + 10 - 2x + 3x \leq -\frac{1}{2}x + 1 Simplificamos: 7 + x \leq -\frac{1}{2}x + 1 Sumamos \frac{1}{2}x a ambos lados: 7 + x + \frac{1}{2}x \leq 1 Es decir: 7 + \frac{3}{2}x \leq 1 Restamos 7: \frac{3}{2}x \leq -6 Multiplicamos por \frac{2}{3}: x \leq -4 - Intervalo: (-\infty, -4].