1. Problema: Resolver la inecuación con valor absoluto $$|3x - 8| > 12$$. 2. Fórmula y regla: Para $$|A| > B$$ con $$B > 0$$, se resuelve como $$A > B$$ o $$A < -B$$. 3. Aplicando la regla: $$3x - 8 > 12 \quad \text{o} \quad 3x - 8 < -12$$ 4. Resolviendo cada inecuación: Para $$3x - 8 > 12$$: $$3x > 12 + 8$$ $$3x > 20$$ $$\cancel{3}x > \cancel{3} \frac{20}{3}$$ $$x > \frac{20}{3}$$ Para $$3x - 8 < -12$$: $$3x < -12 + 8$$ $$3x < -4$$ $$\cancel{3}x < \cancel{3} \frac{-4}{3}$$ $$x < -\frac{4}{3}$$ 5. Conjunto solución: $$x < -\frac{4}{3} \quad \text{o} \quad x > \frac{20}{3}$$ --- 1. Problema: Resolver la inecuación con valor absoluto $$|22 - 12x| - 7 < \frac{9}{5}$$. 2. Primero aislamos el valor absoluto: $$|22 - 12x| < \frac{9}{5} + 7$$ $$|22 - 12x| < \frac{9}{5} + \frac{35}{5} = \frac{44}{5}$$ 3. Para $$|A| < B$$ con $$B > 0$$, se resuelve como $$-B < A < B$$. 4. Aplicando: $$-\frac{44}{5} < 22 - 12x < \frac{44}{5}$$ 5. Resolver las dos inecuaciones: Primera: $$-\frac{44}{5} < 22 - 12x$$ $$-\frac{44}{5} - 22 < -12x$$ Convertimos 22 a fracción con denominador 5: $$-\frac{44}{5} - \frac{110}{5} = -\frac{154}{5} < -12x$$ Dividimos por -12 (cambiando sentido de la desigualdad): $$\frac{-154}{5} \div -12 > x$$ $$x < \frac{154}{5 \times 12} = \frac{154}{60} = \frac{77}{30}$$ Segunda: $$22 - 12x < \frac{44}{5}$$ $$-12x < \frac{44}{5} - 22$$ $$-12x < \frac{44}{5} - \frac{110}{5} = -\frac{66}{5}$$ Dividimos por -12 (cambiando sentido): $$x > \frac{-66}{5 \times -12} = \frac{66}{60} = \frac{11}{10}$$ 6. Conjunto solución: $$\frac{11}{10} < x < \frac{77}{30}$$ --- 1. Problema: Resolver la inecuación cuadrática $$10x^2 + 11x > 6$$. 2. Pasamos todo a un lado: $$10x^2 + 11x - 6 > 0$$ 3. Factorizamos el trinomio: Buscamos dos números que multiplicados den $$10 \times (-6) = -60$$ y sumados den 11. Esos números son 15 y -4. 4. Reescribimos: $$10x^2 + 15x - 4x - 6 > 0$$ Agrupamos: $$(10x^2 + 15x) - (4x + 6) > 0$$ Sacamos factor común: $$5x(2x + 3) - 2(2x + 3) > 0$$ $$ (5x - 2)(2x + 3) > 0$$ 5. Encontramos raíces: $$5x - 2 = 0 \Rightarrow x = \frac{2}{5}$$ $$2x + 3 = 0 \Rightarrow x = -\frac{3}{2}$$ 6. Tabla de variación (signos): Intervalos: $$(-\infty, -\frac{3}{2}), (-\frac{3}{2}, \frac{2}{5}), (\frac{2}{5}, \infty)$$ Probamos signos: - Para $$x < -\frac{3}{2}$$, ambos factores negativos y positivo, producto positivo. - Para $$-\frac{3}{2} < x < \frac{2}{5}$$, signos opuestos, producto negativo. - Para $$x > \frac{2}{5}$$, ambos positivos, producto positivo. 7. Solución: $$x < -\frac{3}{2} \quad \text{o} \quad x > \frac{2}{5}$$ --- 1. Problema: Resolver la inecuación cúbica $$x^3 + 10x^2 + 19x - 30 < 0$$. 2. Buscamos raíces racionales posibles con el teorema del residuo: divisores de 30. Probamos $$x=1$$: $$1 + 10 + 19 - 30 = 0$$ raíz. 3. Dividimos el polinomio por $$x - 1$$: $$x^3 + 10x^2 + 19x - 30 = (x - 1)(x^2 + 11x + 30)$$ 4. Factorizamos el trinomio: $$x^2 + 11x + 30 = (x + 5)(x + 6)$$ 5. Entonces: $$x^3 + 10x^2 + 19x - 30 = (x - 1)(x + 5)(x + 6) < 0$$ 6. Raíces: $$-6, -5, 1$$ 7. Tabla de signos: Intervalos: $$(-\infty, -6), (-6, -5), (-5, 1), (1, \infty)$$ Probamos signos: - $$x < -6$$: todos negativos, producto negativo. - $$-6 < x < -5$$: un factor positivo, producto positivo. - $$-5 < x < 1$$: dos factores positivos, producto negativo. - $$x > 1$$: todos positivos, producto positivo. 8. Solución: $$(-\infty, -6) \cup (-5, 1)$$