1. Vamos resolver a inequação $$\left(\frac{1}{3}\right)^{-x^2-1} \geq 3^{\frac{x+5}{2}}$$ em $$\mathbb{R}$$. 2. Primeiro, reescrevemos a base $$\frac{1}{3}$$ como $$3^{-1}$$ para facilitar a comparação: $$\left(3^{-1}\right)^{-x^2-1} \geq 3^{\frac{x+5}{2}}$$ 3. Aplicando a propriedade de potência de potência $$\left(a^m\right)^n = a^{mn}$$: $$3^{(-1)(-x^2-1)} \geq 3^{\frac{x+5}{2}}$$ $$3^{x^2+1} \geq 3^{\frac{x+5}{2}}$$ 4. Como a base 3 é maior que 1, a função é crescente, então podemos comparar os expoentes diretamente: $$x^2 + 1 \geq \frac{x+5}{2}$$ 5. Multiplicamos ambos os lados por 2 para eliminar o denominador: $$2(x^2 + 1) \geq x + 5$$ $$2x^2 + 2 \geq x + 5$$ 6. Passamos todos os termos para o lado esquerdo: $$2x^2 + 2 - x - 5 \geq 0$$ $$2x^2 - x - 3 \geq 0$$ 7. Resolvemos a inequação quadrática $$2x^2 - x - 3 \geq 0$$. 8. Calculamos o discriminante $$\Delta$$: $$\Delta = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 1 + 24 = 25$$ 9. As raízes são: $$x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{1 \pm 5}{4}$$ $$x_1 = \frac{1 - 5}{4} = \frac{-4}{4} = -1$$ $$x_2 = \frac{1 + 5}{4} = \frac{6}{4} = 1.5$$ 10. Como o coeficiente de $$x^2$$ é positivo, a parábola abre para cima, então a inequação $$2x^2 - x - 3 \geq 0$$ é satisfeita para: $$x \leq -1$$ ou $$x \geq 1.5$$ --- 11. Agora, resolvemos a inequação $$3 + \log_2(x^2 - 1) > 3$$. 12. Subtraindo 3 de ambos os lados: $$\log_2(x^2 - 1) > 0$$ 13. Como a base do logaritmo é 2 (maior que 1), a função é crescente, então: $$x^2 - 1 > 2^0 = 1$$ 14. Resolvendo: $$x^2 - 1 > 1$$ $$x^2 > 2$$ 15. Portanto: $$x < -\sqrt{2}$$ ou $$x > \sqrt{2}$$ 16. Além disso, o domínio do logaritmo exige que $$x^2 - 1 > 0$$, ou seja: $$x < -1$$ ou $$x > 1$$ 17. A interseção do domínio com a solução é: $$x < -\sqrt{2}$$ ou $$x > \sqrt{2}$$ --- **Respostas finais:** - Para 2.1: $$x \leq -1$$ ou $$x \geq 1.5$$ - Para 2.2: $$x < -\sqrt{2}$$ ou $$x > \sqrt{2}$$