1. **Enunciado do problema:** Resolver as inequações do segundo grau em IR: 30.4. $$2x^2 - 7x + 3 < 0$$ 30.5. $$\frac{x(x+1)}{2} \leq 6$$ 30.6. $$x(8 - 5x) - 4 \leq 4(x - 4)$$ --- 2. **Fórmula e regras importantes:** Para resolver inequações do segundo grau, usamos a forma padrão $$ax^2 + bx + c \;\square\; 0$$, onde $$\square$$ é um símbolo de desigualdade. - Calculamos o discriminante $$\Delta = b^2 - 4ac$$ para encontrar as raízes. - As raízes dividem a reta real em intervalos onde o sinal do polinômio é constante. - Se $$a > 0$$, a parábola abre para cima; se $$a < 0$$, abre para baixo. - Analisamos o sinal da função em cada intervalo para resolver a inequação. --- ### 30.4 $$2x^2 - 7x + 3 < 0$$ 1. Identificamos $$a=2$$, $$b=-7$$, $$c=3$$. 2. Calculamos o discriminante: $$\Delta = (-7)^2 - 4 \times 2 \times 3 = 49 - 24 = 25$$ 3. Calculamos as raízes: $$x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{7 \pm 5}{4}$$ - $$x_1 = \frac{7 - 5}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$$ - $$x_2 = \frac{7 + 5}{4} = \frac{12}{4} = 3$$ 4. Como $$a=2 > 0$$, a parábola abre para cima. 5. A inequação $$2x^2 - 7x + 3 < 0$$ é satisfeita entre as raízes: $$\boxed{\frac{1}{2} < x < 3}$$ --- ### 30.5 $$\frac{x(x+1)}{2} \leq 6$$ 1. Multiplicamos ambos os lados por 2 para eliminar o denominador: $$x(x+1) \leq 12$$ 2. Expandimos: $$x^2 + x \leq 12$$ 3. Passamos todos os termos para o lado esquerdo: $$x^2 + x - 12 \leq 0$$ 4. Identificamos $$a=1$$, $$b=1$$, $$c=-12$$. 5. Calculamos o discriminante: $$\Delta = 1^2 - 4 \times 1 \times (-12) = 1 + 48 = 49$$ 6. Calculamos as raízes: $$x = \frac{-1 \pm 7}{2}$$ - $$x_1 = \frac{-1 - 7}{2} = \frac{-8}{2} = -4$$ - $$x_2 = \frac{-1 + 7}{2} = \frac{6}{2} = 3$$ 7. Como $$a=1 > 0$$, a parábola abre para cima. 8. A inequação $$x^2 + x - 12 \leq 0$$ é satisfeita entre as raízes: $$\boxed{-4 \leq x \leq 3}$$ --- ### 30.6 $$x(8 - 5x) - 4 \leq 4(x - 4)$$ 1. Expandimos os dois lados: $$8x - 5x^2 - 4 \leq 4x - 16$$ 2. Passamos todos os termos para o lado esquerdo: $$8x - 5x^2 - 4 - 4x + 16 \leq 0$$ 3. Simplificamos: $$-5x^2 + 4x + 12 \leq 0$$ 4. Multiplicamos ambos os lados por $$-1$$ para facilitar (lembrando de inverter o sinal da desigualdade): $$5x^2 - 4x - 12 \geq 0$$ 5. Identificamos $$a=5$$, $$b=-4$$, $$c=-12$$. 6. Calculamos o discriminante: $$\Delta = (-4)^2 - 4 \times 5 \times (-12) = 16 + 240 = 256$$ 7. Calculamos as raízes: $$x = \frac{4 \pm 16}{2 \times 5} = \frac{4 \pm 16}{10}$$ - $$x_1 = \frac{4 - 16}{10} = \frac{-12}{10} = -\frac{6}{5}$$ - $$x_2 = \frac{4 + 16}{10} = \frac{20}{10} = 2$$ 8. Como $$a=5 > 0$$, a parábola abre para cima. 9. A inequação $$5x^2 - 4x - 12 \geq 0$$ é satisfeita fora do intervalo entre as raízes: $$x \leq -\frac{6}{5} \quad \text{ou} \quad x \geq 2$$ --- **Respostas finais:** 30.4 $$\boxed{\frac{1}{2} < x < 3}$$ 30.5 $$\boxed{-4 \leq x \leq 3}$$ 30.6 $$\boxed{x \leq -\frac{6}{5} \text{ ou } x \geq 2}$$