1. **Planteamiento del problema:** Tenemos $a = 1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{2}}$ y queremos encontrar $a^{-1}$, es decir, el inverso multiplicativo de $a$. 2. **Evaluar el denominador interno:** Primero evaluamos la expresión dentro del denominador: $$1 + \frac{1}{2} = \frac{2}{2} + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$$ 3. **Sustituir y simplificar:** Ahora sustituimos en la expresión original: $$a = 1 + \frac{1}{\frac{3}{2}}$$ 4. **Invertir la fracción en el denominador:** $$a = 1 + \frac{1}{\frac{3}{2}} = 1 + \frac{2}{3}$$ 5. **Sumar las fracciones:** $$a = \frac{3}{3} + \frac{2}{3} = \frac{5}{3}$$ 6. **Calcular el inverso multiplicativo:** $$a^{-1} = \frac{1}{a} = \frac{1}{\frac{5}{3}} = \frac{3}{5}$$ 7. **Respuesta final:** $$a^{-1} = \frac{3}{5}$$ Por lo tanto, la opción correcta es la C) $\frac{3}{5}$.