1. El problema pide determinar la invertibilidad de las matrices $M_1$ y $M_2$. 2. Para que una matriz cuadrada tenga inversa, su determinante debe ser diferente de cero. 3. Calculamos el determinante de $M_1$: $$M_1 = \begin{pmatrix}1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 0\end{pmatrix}$$ 4. Usamos la expansión por cofactores en la primera fila: $$\det(M_1) = 1 \cdot \det\begin{pmatrix}0 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & -1 \\ 1 & 0 & 0\end{pmatrix} - 0 + 1 \cdot \det\begin{pmatrix}0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0\end{pmatrix} + 1 \cdot \det\begin{pmatrix}0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 0\end{pmatrix}$$ 5. Calculamos cada determinante 3x3: - Primer determinante: $$\det\begin{pmatrix}0 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & -1 \\ 1 & 0 & 0\end{pmatrix} = 0 \cdot (2 \cdot 0 - (-1) \cdot 0) - 1 \cdot (0 \cdot 0 - (-1) \cdot 1) + 0 \cdot (0 \cdot 0 - 2 \cdot 1) = -1 \cdot (0 + 1) = -1$$ - Segundo determinante es cero porque la primera fila es todo ceros. - Tercer determinante: $$\det\begin{pmatrix}0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 0\end{pmatrix} = 0$$ 6. Entonces: $$\det(M_1) = 1 \cdot (-1) + 0 + 1 \cdot 0 = -1 \neq 0$$ 7. Por lo tanto, $M_1$ tiene inversa. 8. Ahora calculamos el determinante de $M_2$: $$M_2 = \begin{pmatrix}0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix}$$ 9. Expansión por la primera fila: $$\det(M_2) = 0 - 1 \cdot \det\begin{pmatrix}0 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & 0\end{pmatrix} + 1 \cdot \det\begin{pmatrix}0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0\end{pmatrix} - 1 \cdot \det\begin{pmatrix}0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 1 & 0 & 0\end{pmatrix}$$ 10. Calculamos cada determinante 3x3: - Primer determinante: $$\det\begin{pmatrix}0 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & 0\end{pmatrix} = 0 \cdot (2 \cdot 0 - 1 \cdot 0) - 1 \cdot (0 \cdot 0 - 1 \cdot 1) + 0 \cdot (0 \cdot 0 - 2 \cdot 1) = -1 \cdot (0 - 1) = 1$$ - Segundo determinante es cero porque la primera fila es todo ceros. - Tercer determinante: $$\det\begin{pmatrix}0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 1 & 0 & 0\end{pmatrix} = 0 \cdot (1 \cdot 0 - 2 \cdot 0) - 0 \cdot (0 \cdot 0 - 2 \cdot 1) + 1 \cdot (0 \cdot 0 - 1 \cdot 1) = 1 \cdot (0 - 1) = -1$$ 11. Entonces: $$\det(M_2) = 0 - 1 \cdot 1 + 1 \cdot 0 - 1 \cdot (-1) = -1 + 1 = 0$$ 12. Por lo tanto, $M_2$ no tiene inversa. 13. La respuesta correcta para la primera pregunta es: c. $M_1$ tiene inversa pero $M_2$ no. 14. Para la segunda pregunta, la matriz en $\mathbb{Z}_7$ es: $$\begin{pmatrix}1 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 8 & -7 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1\end{pmatrix}$$ 15. En $\mathbb{Z}_7$, los coeficientes se reducen módulo 7: - $8 \equiv 1$ (mod 7) - $-7 \equiv 0$ (mod 7) 16. La matriz queda: $$\begin{pmatrix}1 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1\end{pmatrix}$$ 17. Una matriz es escalonada si cada fila no nula tiene más ceros a la izquierda que la fila anterior. 18. La matriz cumple esta condición, pero no es reducida porque en la primera fila el elemento $2$ no es cero y debería serlo para ser reducida. 19. Por lo tanto, la respuesta correcta para la segunda pregunta es: a. Es escalonada pero no reducida.