1. **Planteamiento del problema:** Calcula el límite $$\lim_{x \to -1} \frac{b x^3 + 3 x^2 - 2x - 3}{x^2 + 3x + 2}$$. 2. **Observación inicial:** Primero evaluamos directamente en $x = -1$ para ver si el límite es directo o indeterminado. 3. Evaluamos el denominador en $x = -1$: $$(-1)^2 + 3(-1) + 2 = 1 - 3 + 2 = 0$$ 4. Evaluamos el numerador en $x = -1$: $$b(-1)^3 + 3(-1)^2 - 2(-1) - 3 = -b + 3 + 2 - 3 = -b + 2$$ 5. Como el denominador es 0, el límite puede ser indeterminado o infinito. Para que el límite exista finito, el numerador también debe ser 0 en $x = -1$: $$-b + 2 = 0 \implies b = 2$$ 6. Ahora con $b=2$, factorizamos el numerador: $$2x^3 + 3x^2 - 2x - 3$$ Probamos división sintética o factorización por $x+1$: Dividimos por $x+1$: $$\frac{2x^3 + 3x^2 - 2x - 3}{x+1} = 2x^2 + x - 3$$ 7. Factorizamos el cociente: $$2x^2 + x - 3 = (2x - 3)(x + 1)$$ 8. Por lo tanto, el numerador se factoriza como: $$2x^3 + 3x^2 - 2x - 3 = (x+1)(2x - 3)(x+1) = (x+1)^2 (2x - 3)$$ 9. El denominador se factoriza: $$x^2 + 3x + 2 = (x+1)(x+2)$$ 10. Simplificamos la expresión del límite: $$\lim_{x \to -1} \frac{(x+1)^2 (2x - 3)}{(x+1)(x+2)} = \lim_{x \to -1} \frac{\cancel{(x+1)} (x+1)(2x - 3)}{\cancel{(x+1)} (x+2)} = \lim_{x \to -1} \frac{(x+1)(2x - 3)}{x+2}$$ 11. Evaluamos el límite sustituyendo $x = -1$: $$\frac{(-1+1)(2(-1) - 3)}{-1 + 2} = \frac{0 \cdot (-2 - 3)}{1} = 0$$ 12. **Respuesta final:** El límite existe y es igual a 0 si $b=2$. **Nota:** Si $b \neq 2$, el límite no existe finito.