1. Planteamos el problema: Dada la ecuación $$ (x^n)_{\log_x 3} = 3^{\log_{\sqrt{3}} x} + 2^{1+4\log_x x} $$, debemos encontrar el valor de $n$. 2. Interpretamos la notación: Asumimos que $ (x^n)_{\log_x 3} $ significa $ (x^n)^{\log_x 3} = x^{n \log_x 3} $. 3. Simplificamos el lado izquierdo usando propiedades de logaritmos y potencias: $$ x^{n \log_x 3} = 3^n $$ porque $x^{\log_x 3} = 3$. 4. Simplificamos el lado derecho: - Para $3^{\log_{\sqrt{3}} x}$, usamos cambio de base: $$ \log_{\sqrt{3}} x = \frac{\log_x x}{\log_x \sqrt{3}} = \frac{1}{\log_x \sqrt{3}} $$ Pero es más sencillo usar la propiedad: $$ a^{\log_b c} = c^{\log_b a} $$, entonces $$ 3^{\log_{\sqrt{3}} x} = x^{\log_{\sqrt{3}} 3} $$. Como $\sqrt{3} = 3^{1/2}$, entonces $$ \log_{\sqrt{3}} 3 = \frac{\log_3 3}{\log_3 \sqrt{3}} = \frac{1}{1/2} = 2 $$ Por lo tanto, $$ 3^{\log_{\sqrt{3}} x} = x^2 $$. 5. Para $2^{1+4\log_x x}$, recordamos que $\log_x x = 1$, entonces: $$ 2^{1+4\cdot 1} = 2^{5} = 32 $$. 6. La ecuación queda: $$ 3^n = x^2 + 32 $$. 7. Nos dan que $Six = 10\sqrt{3}$, pero parece un dato no relacionado directamente con $x$ o $n$, por lo que lo ignoramos para esta ecuación. 8. Sin más información sobre $x$, no podemos encontrar un valor numérico para $n$ a menos que $x$ sea conocido. 9. Si asumimos que $x=3$, entonces: $$ 3^n = 3^2 + 32 = 9 + 32 = 41 $$ 10. Entonces: $$ 3^n = 41 \implies n = \log_3 41 $$. 11. Por lo tanto, la solución general es: $$ n = \log_3 (x^2 + 32) $$. Respuesta final: $$ n = \log_3 (x^2 + 32) $$