1. Planteamos el problema: transformar las expresiones usando propiedades de logaritmos. 2. Propiedades importantes: - $\log(x^m) = m \log(x)$ - $\log(xy) = \log(x) + \log(y)$ - $\log\left(\frac{x}{y}\right) = \log(x) - \log(y)$ 3. Para la expresión a) $\log \frac{a^{3}}{3} (b^{2})^{\frac{1}{3}} \sqrt[3]{a}$: Primero, reescribimos la expresión dentro del logaritmo: $$\frac{a^{3}}{3} (b^{2})^{\frac{1}{3}} \sqrt[3]{a} = \frac{a^{3}}{3} b^{\frac{2}{3}} a^{\frac{1}{3}}$$ Multiplicamos los términos con base $a$: $$a^{3} \cdot a^{\frac{1}{3}} = a^{3 + \frac{1}{3}} = a^{\frac{10}{3}}$$ Entonces la expresión es: $$\frac{a^{\frac{10}{3}} b^{\frac{2}{3}}}{3}$$ Aplicamos logaritmo de cociente: $$\log \left(\frac{a^{\frac{10}{3}} b^{\frac{2}{3}}}{3}\right) = \log \left(a^{\frac{10}{3}} b^{\frac{2}{3}}\right) - \log 3$$ Aplicamos logaritmo de producto: $$\log a^{\frac{10}{3}} + \log b^{\frac{2}{3}} - \log 3$$ Aplicamos propiedad de potencia: $$\frac{10}{3} \log a + \frac{2}{3} \log b - \log 3$$ 4. Para la expresión b) $3 \log a + \frac{1}{2} \log b - 2 - \frac{1}{3} \log c$: Observamos que $-2$ es un número constante, no logaritmo. No hay más simplificación directa, pero podemos escribir la expresión como: $$3 \log a + \frac{1}{2} \log b - \frac{1}{3} \log c - 2$$ Si se desea, podemos combinar los logaritmos en uno solo usando propiedades inversas: $$3 \log a = \log a^{3}, \quad \frac{1}{2} \log b = \log b^{\frac{1}{2}}, \quad -\frac{1}{3} \log c = -\log c^{\frac{1}{3}} = \log c^{-\frac{1}{3}}$$ Entonces: $$\log a^{3} + \log b^{\frac{1}{2}} + \log c^{-\frac{1}{3}} - 2 = \log \left(a^{3} b^{\frac{1}{2}} c^{-\frac{1}{3}}\right) - 2$$ 5. Respuestas finales: a) $$\boxed{\frac{10}{3} \log a + \frac{2}{3} \log b - \log 3}$$ b) $$\boxed{\log \left(a^{3} b^{\frac{1}{2}} c^{-\frac{1}{3}}\right) - 2}$$