1. **Planteamiento del problema:** Se dan las matrices $$A=\begin{pmatrix}-2 & 1 \\ 3 & -2\end{pmatrix}, B=\begin{pmatrix}1 & 2 \\ 0 & -1\end{pmatrix}, C=\begin{pmatrix}3 & -1 \\ -3 & 3\end{pmatrix}.$$ Se pide resolver: 2.1.1 La matriz $X$ solución de la ecuación $\left(A^{-1}X\right)^{-1} = A\left(B^2 A\right)^{-1}$. 2.1.2 El determinante de la matriz $(3A^5 B)^2$. 2.1.3 Los valores de $a$ y $b$ tales que $a B^{100} + b B^{99} = A + C$. --- 2. **Resolución 2.1.1:** Dada la ecuación: $$\left(A^{-1} X\right)^{-1} = A \left(B^2 A\right)^{-1}$$ Recordemos que para matrices invertibles: $$\left(M N\right)^{-1} = N^{-1} M^{-1}$$ Entonces: $$\left(A^{-1} X\right)^{-1} = X^{-1} A$$ Por lo tanto: $$X^{-1} A = A \left(B^2 A\right)^{-1}$$ Multiplicamos a la derecha por $A^{-1}$: $$X^{-1} = A \left(B^2 A\right)^{-1} A^{-1}$$ Invertimos ambos lados: $$X = \left(A \left(B^2 A\right)^{-1} A^{-1}\right)^{-1} = A \left(B^2 A\right) A^{-1}$$ Calculamos $B^2$: $$B^2 = B \cdot B = \begin{pmatrix}1 & 2 \\ 0 & -1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1 & 2 \\ 0 & -1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 \cdot 1 + 2 \cdot 0 & 1 \cdot 2 + 2 \cdot (-1) \\ 0 \cdot 1 + (-1) \cdot 0 & 0 \cdot 2 + (-1) \cdot (-1)\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix} = I$$ Entonces: $$X = A \cdot I \cdot A^{-1} = A A^{-1} = I$$ **Respuesta 2.1.1:** $$\boxed{X = I = \begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix}}$$ --- 3. **Resolución 2.1.2:** Queremos calcular: $$\det\left( (3 A^5 B)^2 \right)$$ Recordemos que para determinantes: $$\det(k M) = k^n \det(M)$$ donde $n$ es el tamaño de la matriz (aquí $n=2$), y $$\det(M^2) = (\det M)^2$$ Entonces: $$\det\left( (3 A^5 B)^2 \right) = \det\left(3 A^5 B\right)^2 = \left(3^2 \det(A^5 B)\right)^2 = 3^{4} \det(A^5 B)^2$$ Además: $$\det(A^5 B) = \det(A^5) \det(B) = (\det A)^5 \det B$$ Calculamos $\det A$: $$\det A = (-2)(-2) - (1)(3) = 4 - 3 = 1$$ Calculamos $\det B$: $$\det B = (1)(-1) - (2)(0) = -1$$ Por lo tanto: $$\det(A^5 B) = 1^5 \cdot (-1) = -1$$ Finalmente: $$\det\left( (3 A^5 B)^2 \right) = 3^4 \cdot (-1)^2 = 81 \cdot 1 = 81$$ **Respuesta 2.1.2:** $$\boxed{81}$$ --- 4. **Resolución 2.1.3:** Queremos encontrar $a,b$ tales que: $$a B^{100} + b B^{99} = A + C$$ Primero, notemos que $B$ es: $$B = \begin{pmatrix}1 & 2 \\ 0 & -1\end{pmatrix}$$ Calculamos potencias de $B$ usando diagonalización o propiedades: Observamos que $B$ es triangular superior, entonces: $$B^n = \begin{pmatrix}1^n & * \\ 0 & (-1)^n\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 & 2 \sum_{k=0}^{n-1} (1)^k (-1)^{n-1-k} \\ 0 & (-1)^n\end{pmatrix}$$ Pero para simplificar, notemos que: $$B^2 = \begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix} = I$$ Por lo tanto, $B$ es involutiva: $B^2 = I$. Entonces: - Si $n$ es par, $B^n = I$. - Si $n$ es impar, $B^n = B$. Como $100$ es par y $99$ es impar: $$B^{100} = I, \quad B^{99} = B$$ La ecuación queda: $$a I + b B = A + C$$ Escribimos las matrices: $$a \begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix} + b \begin{pmatrix}1 & 2 \\ 0 & -1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-2 & 1 \\ 3 & -2\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}3 & -1 \\ -3 & 3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix}$$ Sumamos lado derecho: $$A + C = I$$ Entonces: $$a I + b B = I$$ Escribimos componente a componente: $$\begin{cases} a + b = 1 \\ 2b = 0 \\ 0 = 0 \\ a - b = 1 \end{cases}$$ De $2b=0$ se obtiene $b=0$. De $a + b = 1$ y $a - b = 1$ con $b=0$: $$a = 1$$ **Respuesta 2.1.3:** $$\boxed{a=1, b=0}$$