1. **Problema:** Dada la matriz $$A=\begin{pmatrix}0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0\end{pmatrix}$$ a) Comprobar que $$A^4 = A^{-1}$$ siendo $$A^t$$ la matriz traspuesta de $$A$$. b) Calcular el valor de $$(A \cdot A^t)^{2026}$$. 2. **Fórmulas y reglas importantes:** - La matriz traspuesta $$A^t$$ se obtiene intercambiando filas por columnas. - La matriz inversa $$A^{-1}$$ cumple $$A \cdot A^{-1} = I$$, donde $$I$$ es la matriz identidad. - Para potencias de matrices, se multiplica la matriz por sí misma el número de veces indicado. 3. **Parte a) Comprobación de $$A^4 = A^{-1}$$:** - Calculemos $$A^2 = A \cdot A$$: $$A^2 = \begin{pmatrix}0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\cdot0+1\cdot0+0\cdot1 & 0\cdot1+1\cdot0+0\cdot0 & 0\cdot0+1\cdot1+0\cdot0 \\ 0\cdot0+0\cdot0+1\cdot1 & 0\cdot1+0\cdot0+1\cdot0 & 0\cdot0+0\cdot1+1\cdot0 \\ 1\cdot0+0\cdot0+0\cdot1 & 1\cdot1+0\cdot0+0\cdot0 & 1\cdot0+0\cdot1+0\cdot0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0\end{pmatrix}$$ - Calculemos $$A^3 = A^2 \cdot A$$: $$A^3 = \begin{pmatrix}0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\cdot0+0\cdot0+1\cdot1 & 0\cdot1+0\cdot0+1\cdot0 & 0\cdot0+0\cdot1+1\cdot0 \\ 1\cdot0+0\cdot0+0\cdot1 & 1\cdot1+0\cdot0+0\cdot0 & 1\cdot0+0\cdot1+0\cdot0 \\ 0\cdot0+1\cdot0+0\cdot1 & 0\cdot1+1\cdot0+0\cdot0 & 0\cdot0+1\cdot1+0\cdot0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix} = I$$ - Calculemos $$A^4 = A^3 \cdot A = I \cdot A = A$$ - Ahora calculemos $$A^{-1}$$. Observamos que $$A^3 = I$$, por lo que $$A^{-1} = A^3$$. - Por lo tanto, $$A^4 = A = A \cdot I = A \cdot A^3 \cdot A^{-1} = A^{-1}$$ no es correcto, pero sí que $$A^3 = A^{-1}$$. - Sin embargo, dado que $$A^3 = I$$, entonces $$A^4 = A$$ y $$A^{-1} = A^2$$. - Comprobemos $$A \cdot A^2 = A^3 = I$$, por lo que $$A^{-1} = A^2$$. - Por lo tanto, $$A^4 = A \cdot A^3 = A \cdot I = A$$ y $$A^{-1} = A^2$$, luego $$A^4 \neq A^{-1}$$. - Parece que la afirmación del problema es incorrecta o hay un error en la interpretación. 4. **Parte b) Calcular $$(A \cdot A^t)^{2026}$$:** - Calculemos $$A^t$$: $$A^t = \begin{pmatrix}0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0\end{pmatrix}$$ - Calculemos $$A \cdot A^t$$: $$A \cdot A^t = \begin{pmatrix}0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\cdot0+1\cdot1+0\cdot0 & 0\cdot0+1\cdot0+0\cdot1 & 0\cdot1+1\cdot0+0\cdot0 \\ 0\cdot0+0\cdot1+1\cdot0 & 0\cdot0+0\cdot0+1\cdot1 & 0\cdot1+0\cdot0+1\cdot0 \\ 1\cdot0+0\cdot1+0\cdot0 & 1\cdot0+0\cdot0+0\cdot1 & 1\cdot1+0\cdot0+0\cdot0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix} = I$$ - Por lo tanto, $$(A \cdot A^t)^{2026} = I^{2026} = I$$. **Respuesta final:** - a) $$A^3 = I$$ y $$A^{-1} = A^2$$, por lo que $$A^4 \neq A^{-1}$$, sino que $$A^4 = A$$. - b) $$(A \cdot A^t)^{2026} = I$$.