1. **Problema 7:** Considere as matrizes $$A = \begin{bmatrix} 2 & 1 & 0 \\ -1 & 3 & 2 \\ 4 & 0 & 1 \end{bmatrix},\quad B = \begin{bmatrix} 1 & 2 & -3 \end{bmatrix},\quad C = \begin{bmatrix} 5 & -1 & 2 \end{bmatrix}.$$ Verificar se as operações abaixo estão definidas e calcular o resultado se possível. 2. **Operação i) $\frac{1}{2} AC'$:** - $C'$ é a transposta de $C$, que é um vetor linha $1 \times 3$, então $C'$ é $3 \times 1$: $$C' = \begin{bmatrix} 5 \\ -1 \\ 2 \end{bmatrix}.$$ - $A$ é $3 \times 3$, $C'$ é $3 \times 1$, então o produto $AC'$ é definido e resulta em uma matriz $3 \times 1$. - Calculando $AC'$: $$AC' = \begin{bmatrix} 2 & 1 & 0 \\ -1 & 3 & 2 \\ 4 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 5 \\ -1 \\ 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2\cdot5 + 1\cdot(-1) + 0\cdot2 \\ -1\cdot5 + 3\cdot(-1) + 2\cdot2 \\ 4\cdot5 + 0\cdot(-1) + 1\cdot2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 10 -1 + 0 \\ -5 -3 + 4 \\ 20 + 0 + 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 9 \\ -4 \\ 22 \end{bmatrix}.$$ - Multiplicando por $\frac{1}{2}$: $$\frac{1}{2} AC' = \begin{bmatrix} \frac{9}{2} \\ -2 \\ 11 \end{bmatrix}.$$ 3. **Operação ii) $A'B$:** - $A'$ é a transposta de $A$, que é $3 \times 3$, então $A'$ também é $3 \times 3$. - $B$ é um vetor linha $1 \times 3$. - Para multiplicar $A'B$, as dimensões devem ser compatíveis: $A'$ é $3 \times 3$, $B$ é $1 \times 3$, então $A'B$ não está definido porque o número de colunas de $A'$ (3) não é igual ao número de linhas de $B$ (1). - Portanto, $A'B$ **não está definido**. 4. **Operação iii) $CA'$:** - $C$ é $1 \times 3$, $A'$ é $3 \times 3$. - O produto $CA'$ está definido e resulta em uma matriz $1 \times 3$. - Calculando $A'$: $$A' = \begin{bmatrix} 2 & -1 & 4 \\ 1 & 3 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \end{bmatrix}.$$ - Calculando $CA'$: $$CA' = \begin{bmatrix} 5 & -1 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & -1 & 4 \\ 1 & 3 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5\cdot2 + (-1)\cdot1 + 2\cdot0 & 5\cdot(-1) + (-1)\cdot3 + 2\cdot2 & 5\cdot4 + (-1)\cdot0 + 2\cdot1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 10 -1 + 0 & -5 -3 + 4 & 20 + 0 + 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 9 & -4 & 22 \end{bmatrix}.$$ --- 5. **Problema 8:** Resolver o sistema $$\begin{cases} 3x + y = 13 \\ x + 2y = 1 \end{cases}$$ por inversão da matriz dos coeficientes. 6. **Matriz dos coeficientes e vetor dos termos independentes:** $$M = \begin{bmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}, \quad \mathbf{b} = \begin{bmatrix} 13 \\ 1 \end{bmatrix}.$$ 7. **Calcular a inversa de $M$:** - Determinante de $M$: $$\det(M) = 3 \cdot 2 - 1 \cdot 1 = 6 - 1 = 5.$$ - Matriz adjunta de $M$ (trocar elementos da diagonal principal e mudar sinais dos elementos fora da diagonal): $$\text{adj}(M) = \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 3 \end{bmatrix}.$$ - Inversa: $$M^{-1} = \frac{1}{\det(M)} \text{adj}(M) = \frac{1}{5} \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 3 \end{bmatrix}.$$ 8. **Calcular $\mathbf{x} = M^{-1} \mathbf{b}$:** $$\mathbf{x} = \frac{1}{5} \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 13 \\ 1 \end{bmatrix} = \frac{1}{5} \begin{bmatrix} 2 \cdot 13 - 1 \cdot 1 \\ -1 \cdot 13 + 3 \cdot 1 \end{bmatrix} = \frac{1}{5} \begin{bmatrix} 26 - 1 \\ -13 + 3 \end{bmatrix} = \frac{1}{5} \begin{bmatrix} 25 \\ -10 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 \\ -2 \end{bmatrix}.$$ 9. **Solução do sistema:** $$x = 5, \quad y = -2.$$