1. Planteamos el problema: Resolver la desigualdad $$\left( x - \frac{1}{2} \right)^2 - 8 > x^2 + x + \frac{1}{4}$$ y encontrar el máximo valor entero de $x$ que la satisface. 2. Expandimos y simplificamos ambos lados: $$\left( x - \frac{1}{2} \right)^2 = x^2 - 2 \cdot x \cdot \frac{1}{2} + \left( \frac{1}{2} \right)^2 = x^2 - x + \frac{1}{4}$$ Entonces la desigualdad queda: $$x^2 - x + \frac{1}{4} - 8 > x^2 + x + \frac{1}{4}$$ 3. Simplificamos términos semejantes: $$x^2 - x + \frac{1}{4} - 8 > x^2 + x + \frac{1}{4}$$ $$x^2 - x - \frac{31}{4} > x^2 + x + \frac{1}{4}$$ 4. Restamos $x^2$ y $\frac{1}{4}$ de ambos lados: $$\cancel{x^2} - x - \frac{31}{4} - \cancel{x^2} - \frac{1}{4} > \cancel{x^2} + x + \frac{1}{4} - \cancel{x^2} - \frac{1}{4}$$ $$- x - 8 > x$$ 5. Sumamos $x$ a ambos lados: $$- x - 8 + x > x + x$$ $$-8 > 2x$$ 6. Dividimos ambos lados entre 2: $$\frac{-8}{2} > \frac{2x}{2}$$ $$-4 > x$$ 7. Interpretamos la solución: $x < -4$. 8. El máximo valor entero de $x$ que satisface la desigualdad es el entero inmediatamente menor que $-4$, es decir, $-5$. **Respuesta final:** El máximo valor entero de $x$ que cumple la desigualdad es $$\boxed{-5}$$.