1. Planteamos el problema: Sea $x$ el número desconocido. 2. Según el enunciado, "un número aumentado en 12" es $x + 12$. 3. "El mismo número disminuido en 5" es $x - 5$. 4. La multiplicación de estos dos es igual al cuadrado del número más 31, es decir: $$ (x + 12)(x - 5) = x^2 + 31 $$ 5. Expandimos el producto en el lado izquierdo: $$ x^2 - 5x + 12x - 60 = x^2 + 31 $$ 6. Simplificamos términos semejantes: $$ x^2 + 7x - 60 = x^2 + 31 $$ 7. Restamos $x^2$ de ambos lados para eliminarlo: $$ \cancel{x^2} + 7x - 60 = \cancel{x^2} + 31 $$ Queda: $$ 7x - 60 = 31 $$ 8. Sumamos 60 a ambos lados: $$ 7x - 60 + 60 = 31 + 60 $$ $$ 7x = 91 $$ 9. Dividimos ambos lados entre 7: $$ x = \frac{91}{7} $$ $$ x = 13 $$ 10. Por lo tanto, el número es **13**.