1. El problema es realizar operaciones con números complejos en forma binómica. 2. Recordemos que un número complejo se expresa como $a + bi$, donde $a$ es la parte real y $b$ la parte imaginaria. 3. Para la suma y resta, sumamos o restamos las partes reales y las partes imaginarias por separado. 4. Para la multiplicación, usamos la propiedad distributiva y recordamos que $i^2 = -1$. 5. Resolveremos la primera operación: $ (5 + 4i) + (6 + 2i) $. 6. Sumamos las partes reales: $5 + 6 = 11$. 7. Sumamos las partes imaginarias: $4i + 2i = 6i$. 8. Resultado: $$11 + 6i$$. 9. Segunda operación: $ \left(\frac{5}{8} + \frac{4}{3}i\right) - \left(\frac{6}{7} + \frac{2}{3}i\right) $. 10. Restamos partes reales: $$\frac{5}{8} - \frac{6}{7} = \frac{5 \times 7}{8 \times 7} - \frac{6 \times 8}{7 \times 8} = \frac{35}{56} - \frac{48}{56} = \frac{35 - 48}{56} = \frac{\cancel{35} - 48}{56} = -\frac{13}{56}$$. 11. Restamos partes imaginarias: $$\frac{4}{3}i - \frac{2}{3}i = \left(\frac{4}{3} - \frac{2}{3}\right)i = \frac{2}{3}i$$. 12. Resultado: $$-\frac{13}{56} + \frac{2}{3}i$$. 13. Tercera operación: $ (\sqrt{3} + 6i) + (2 + 4i) $. 14. Sumamos partes reales: $$\sqrt{3} + 2$$. 15. Sumamos partes imaginarias: $$6i + 4i = 10i$$. 16. Resultado: $$\sqrt{3} + 2 + 10i$$. 17. Cuarta operación: $ \left(\frac{4}{5} - \frac{2}{4}i\right) + \left(\frac{2}{3} + \frac{6}{9}i\right) $. 18. Sumamos partes reales: $$\frac{4}{5} + \frac{2}{3} = \frac{4 \times 3}{5 \times 3} + \frac{2 \times 5}{3 \times 5} = \frac{12}{15} + \frac{10}{15} = \frac{22}{15}$$. 19. Sumamos partes imaginarias: $$-\frac{2}{4}i + \frac{6}{9}i = \left(-\frac{1}{2} + \frac{2}{3}\right)i = \left(-\frac{3}{6} + \frac{4}{6}\right)i = \frac{1}{6}i$$. 20. Resultado: $$\frac{22}{15} + \frac{1}{6}i$$. 21. Quinta operación: $ (5 + 4i) - (6 + 2i) $. 22. Restamos partes reales: $$5 - 6 = -1$$. 23. Restamos partes imaginarias: $$4i - 2i = 2i$$. 24. Resultado: $$-1 + 2i$$. 25. Sexta operación: $ (8 - 2i)(7 + 3i) $. 26. Multiplicamos usando distributiva: $$8 \times 7 + 8 \times 3i - 2i \times 7 - 2i \times 3i = 56 + 24i - 14i - 6i^2$$. 27. Simplificamos términos imaginarios: $$24i - 14i = 10i$$. 28. Recordamos que $i^2 = -1$, entonces $$-6i^2 = -6(-1) = 6$$. 29. Sumamos términos reales: $$56 + 6 = 62$$. 30. Resultado: $$62 + 10i$$. 31. Séptima operación: $ (-3 + 6i)(2 + 4i) $. 32. Multiplicamos: $$-3 \times 2 + (-3) \times 4i + 6i \times 2 + 6i \times 4i = -6 - 12i + 12i + 24i^2$$. 33. Simplificamos términos imaginarios: $$-12i + 12i = 0$$. 34. Recordamos $i^2 = -1$, entonces $$24i^2 = 24(-1) = -24$$. 35. Sumamos términos reales: $$-6 - 24 = -30$$. 36. Resultado: $$-30 + 0i = -30$$. 37. Octava operación: $ (5 + 4i)(6 + 2i) $. 38. Multiplicamos: $$5 \times 6 + 5 \times 2i + 4i \times 6 + 4i \times 2i = 30 + 10i + 24i + 8i^2$$. 39. Sumamos términos imaginarios: $$10i + 24i = 34i$$. 40. Recordamos $i^2 = -1$, entonces $$8i^2 = 8(-1) = -8$$. 41. Sumamos términos reales: $$30 - 8 = 22$$. 42. Resultado: $$22 + 34i$$.