1. Escriba las expresiones como números imaginarios puros. 1. a. \(\sqrt{-100} = \sqrt{100} \cdot \sqrt{-1} = 10i\) 1. b. \(\sqrt{-120} = \sqrt{120} \cdot i = 2\sqrt{30}i\) 1. c. \(8\sqrt{-8} = 8 \cdot \sqrt{8} \cdot i = 8 \cdot 2\sqrt{2}i = 16\sqrt{2}i\) 1. d. \(\sqrt{-169} = 13i\) 1. e. \(-3\sqrt{-180} = -3 \cdot \sqrt{180} \cdot i = -3 \cdot 6\sqrt{5}i = -18\sqrt{5}i\) 1. f. \(\sqrt{-1900} = \sqrt{1900} \cdot i = 10\sqrt{19}i\) 2. Calcule el valor de las potencias de i. Recordemos que \(i^2 = -1\), y las potencias de \(i\) se repiten cada 4: \(i^1 = i\), \(i^2 = -1\), \(i^3 = -i\), \(i^4 = 1\), luego se repite. 2. a. \(i^{20} = (i^4)^5 = 1^5 = 1\) 2. b. \(i^{44} = (i^4)^{11} = 1^{11} = 1\) 2. c. \(i^{123} = i^{(4 \times 30) + 3} = (i^4)^{30} \cdot i^3 = 1^{30} \cdot (-i) = -i\) 2. d. \(i^{28} = (i^4)^7 = 1^7 = 1\) 2. e. \(i^{99} = i^{(4 \times 24) + 3} = (i^4)^{24} \cdot i^3 = 1^{24} \cdot (-i) = -i\) 2. f. \(i^{124} = (i^4)^{31} = 1^{31} = 1\) 2. g. \(i^{3241} = i^{(4 \times 810) + 1} = (i^4)^{810} \cdot i^1 = 1^{810} \cdot i = i\) 2. h. \(i^{2247} = i^{(4 \times 561) + 3} = (i^4)^{561} \cdot i^3 = 1^{561} \cdot (-i) = -i\) 2. i. \(i^{52231} = i^{(4 \times 13057) + 3} = (i^4)^{13057} \cdot i^3 = 1^{13057} \cdot (-i) = -i\) 3. Escriba el conjugado de los números complejos. El conjugado de un número complejo \(a + bi\) es \(a - bi\). 3. a. \(3 + 2i \to 3 - 2i\) 3. b. \(-\frac{1}{2} + 3.4i \to -\frac{1}{2} - 3.4i\) 3. c. \(-34 - 11i \to -34 + 11i\) 3. d. \(7 - \frac{1}{2}i \to 7 + \frac{1}{2}i\) 3. e. \(-42i + 3 = 3 - 42i \to 3 + 42i\) 3. f. \(3\sqrt{2}i + \sqrt{13} = \sqrt{13} + 3\sqrt{2}i \to \sqrt{13} - 3\sqrt{2}i\) 4. Realice las operaciones. 4. a. \((1.3 + 5i) + (3i - 7) = (1.3 - 7) + (5i + 3i) = -5.7 + 8i\) 4. b. \((98 - 1.2i) - (12 - 4i) = (98 - 12) + (-1.2i + 4i) = 86 + 2.8i\) 4. c. \((-3 + 5i)(3i - 1) = (-3)(3i) + (-3)(-1) + (5i)(3i) + (5i)(-1) = -9i + 3 + 15i^2 - 5i\ = 3 - 15 - 14i = -12 - 14i\) 4. d. \((17 + 8i) + (2 - i) = (17 + 2) + (8i - i) = 19 + 7i\) 4. e. \((-7i + 2)[(6 - 7i) + (1 + 5i)] = (-7i + 2)(7 - 2i)\ = (-7i)(7) + (-7i)(-2i) + 2(7) + 2(-2i) = -49i + 14i^2 + 14 - 4i\ = -49i - 14 + 14 - 4i = -53i\) 4. f. \([(4.2 + i) + (1 + 3i)] - (1 + 5i) = (5.2 + 4i) - (1 + 5i) = (5.2 - 1) + (4i - 5i) = 4.2 - i\) 4. g. \([(-1 + i)(5 - 2i)] + (3 - 8i) = (-1)(5) + (-1)(-2i) + i(5) + i(-2i) + 3 - 8i\ = -5 + 2i + 5i - 2i^2 + 3 - 8i = -5 + 7i + 2 + 3 - 8i = 0 - i = -i\) 4. h. \([(-4i) + (1 - 9i)] \div (2 + i) = (1 - 13i) \div (2 + i)\ Multiplicamos numerador y denominador por el conjugado del denominador \(2 - i\): \frac{(1 - 13i)(2 - i)}{(2 + i)(2 - i)} = \frac{2 - i - 26i + 13i^2}{4 - i^2} = \frac{2 - 27i - 13}{4 + 1} = \frac{-11 - 27i}{5} = -\frac{11}{5} - \frac{27}{5}i\)