1. Planteamos el problema: aplicar propiedades de operaciones con números reales para cada inciso. 2. Recordemos algunas propiedades importantes: - Para dividir fracciones, multiplicamos por el inverso. - Para multiplicar potencias con la misma base, sumamos exponentes. - Para dividir potencias con la misma base, restamos exponentes. 3. Resolución paso a paso: a) $$\left(\frac{3}{10} - \frac{8}{15}\right) : 5 = $$ Primero, igualamos denominadores para restar: $$\frac{3}{10} = \frac{9}{30}, \quad \frac{8}{15} = \frac{16}{30}$$ Entonces: $$\frac{9}{30} - \frac{16}{30} = \frac{9 - 16}{30} = \frac{-7}{30}$$ Dividimos por 5: $$\frac{-7}{30} : 5 = \frac{-7}{30} \times \frac{1}{5} = \frac{-7}{150}$$ b) $$\frac{4}{7} \left( \frac{14}{8} \cdot 5 \right) = $$ Multiplicamos dentro del paréntesis: $$\frac{14}{8} \cdot 5 = \frac{14}{8} \cdot \frac{5}{1} = \frac{70}{8} = \frac{35}{4}$$ Multiplicamos por $$\frac{4}{7}$$: $$\frac{4}{7} \cdot \frac{35}{4} = \frac{4 \cdot 35}{7 \cdot 4} = \frac{140}{28}$$ Cancelamos factores comunes: $$\frac{\cancel{140}}{\cancel{28}} = \frac{5}{1} = 5$$ c) $$-\frac{5}{2} \left( 2 - \frac{4}{3} \right) = $$ Restamos dentro del paréntesis: $$2 = \frac{6}{3}$$ $$\frac{6}{3} - \frac{4}{3} = \frac{2}{3}$$ Multiplicamos: $$-\frac{5}{2} \cdot \frac{2}{3} = -\frac{5 \cdot 2}{2 \cdot 3} = -\frac{10}{6}$$ Cancelamos factor 2: $$-\frac{\cancel{10}}{\cancel{6}} = -\frac{5}{3}$$ d) $$\left(8 + \frac{9}{12}\right) + \frac{3}{12} = $$ Sumamos fracciones con denominador común: $$\frac{9}{12} + \frac{3}{12} = \frac{12}{12} = 1$$ Entonces: $$8 + 1 = 9$$ e) $$\frac{8^2 \cdot 2^5}{2^7} = $$ Recordando que $$8 = 2^3$$, entonces: $$8^2 = (2^3)^2 = 2^{3 \cdot 2} = 2^6$$ Multiplicamos potencias de base 2: $$2^6 \cdot 2^5 = 2^{6+5} = 2^{11}$$ Dividimos por $$2^7$$: $$\frac{2^{11}}{2^7} = 2^{11-7} = 2^4 = 16$$ f) $$3^{-5} \cdot 81 : (3^{-2})^3 = $$ Recordamos que $$81 = 3^4$$ y que $$ (3^{-2})^3 = 3^{-6} $$ Multiplicamos: $$3^{-5} \cdot 3^4 = 3^{-5+4} = 3^{-1}$$ Dividimos: $$\frac{3^{-1}}{3^{-6}} = 3^{-1 - (-6)} = 3^{5} = 243$$ Respuesta final: a) $$-\frac{7}{150}$$ b) $$5$$ c) $$-\frac{5}{3}$$ d) $$9$$ e) $$16$$ f) $$243$$