1. Planteamos el problema: Tenemos un polinomio de cuarto grado $f(x)$ con raíces en $2$ y $4$, y se nos dan los valores $f(1) = 24$ y $f(-2) = 840$. Debemos hallar $f(8)$. 2. Como $f(x)$ es de cuarto grado y tiene raíces en $2$ y $4$, podemos expresar $f(x)$ como: $$f(x) = a(x-2)^m (x-4)^n g(x)$$ donde $m+n$ es al menos 2 y $g(x)$ es un polinomio que completa el grado 4. La forma más simple es asumir que las raíces $2$ y $4$ son de multiplicidad 2 cada una, es decir: $$f(x) = a(x-2)^2 (x-4)^2$$ 3. Usamos las condiciones dadas para encontrar $a$: Para $x=1$: $$f(1) = a(1-2)^2 (1-4)^2 = a(1)^2 (3)^2 = 9a = 24 \implies a = \frac{24}{9} = \frac{8}{3}$$ Para $x=-2$: $$f(-2) = \frac{8}{3}(-2-2)^2 (-2-4)^2 = \frac{8}{3}(-4)^2 (-6)^2 = \frac{8}{3} \times 16 \times 36 = \frac{8}{3} \times 576 = 1536$$ Pero $f(-2)$ debe ser $840$, no $1536$, por lo que la suposición de multiplicidad 2 para ambas raíces no es correcta. 4. Probamos otra forma: $f(x) = a(x-2)(x-4)h(x)$ donde $h(x)$ es un polinomio de grado 2 sin raíces en 2 o 4. Sea $h(x) = x^2 + bx + c$, entonces: $$f(x) = a(x-2)(x-4)(x^2 + bx + c)$$ 5. Usamos las condiciones para hallar $a$, $b$, y $c$: Para $x=1$: $$(1-2)(1-4)(1 + b + c) = (-1)(-3)(1 + b + c) = 3(1 + b + c)$$ Entonces: $$f(1) = a \times 3(1 + b + c) = 24 \implies 3a(1 + b + c) = 24 \implies a(1 + b + c) = 8$$ Para $x=-2$: $$(-2-2)(-2-4)((-2)^2 + b(-2) + c) = (-4)(-6)(4 - 2b + c) = 24(4 - 2b + c)$$ Entonces: $$f(-2) = a \times 24(4 - 2b + c) = 840 \implies 24a(4 - 2b + c) = 840 \implies a(4 - 2b + c) = 35$$ 6. Tenemos el sistema: $$a(1 + b + c) = 8$$ $$a(4 - 2b + c) = 35$$ 7. De la primera ecuación: $$1 + b + c = \frac{8}{a}$$ De la segunda: $$4 - 2b + c = \frac{35}{a}$$ 8. Restamos la primera de la segunda para eliminar $c$: $$(4 - 2b + c) - (1 + b + c) = \frac{35}{a} - \frac{8}{a}$$ $$3 - 3b = \frac{27}{a} \implies 3 - 3b = \frac{27}{a} \implies 3b = 3 - \frac{27}{a} \implies b = 1 - \frac{9}{a}$$ 9. Sustituimos $b$ en la primera ecuación para hallar $c$: $$1 + \left(1 - \frac{9}{a}\right) + c = \frac{8}{a} \implies 2 - \frac{9}{a} + c = \frac{8}{a} \implies c = \frac{8}{a} + \frac{9}{a} - 2 = \frac{17}{a} - 2$$ 10. Ahora, $f(x) = a(x-2)(x-4)(x^2 + bx + c)$ con $b$ y $c$ en función de $a$. 11. Para hallar $a$, usamos que $f(x)$ es de grado 4, y el coeficiente principal es $a$ (porque el término de mayor grado es $a x^4$). 12. No hay más condiciones, así que podemos elegir $a$ para que $b$ y $c$ sean consistentes. 13. Probamos con $a=3$: $$b = 1 - \frac{9}{3} = 1 - 3 = -2$$ $$c = \frac{17}{3} - 2 = \frac{17 - 6}{3} = \frac{11}{3}$$ 14. Verificamos $f(-2)$: $$a(4 - 2b + c) = 3(4 - 2(-2) + \frac{11}{3}) = 3(4 + 4 + \frac{11}{3}) = 3\left(8 + \frac{11}{3}\right) = 3 \times \frac{24 + 11}{3} = 3 \times \frac{35}{3} = 35$$ Pero debe ser 35, y en la ecuación original era $a(4 - 2b + c) = 35$, así que con $a=3$ se cumple. 15. Finalmente, calculamos $f(8)$: $$f(8) = a(8-2)(8-4)(8^2 + b \times 8 + c) = 3 \times 6 \times 4 \times (64 + (-2) \times 8 + \frac{11}{3})$$ $$= 3 \times 6 \times 4 \times \left(64 - 16 + \frac{11}{3}\right) = 72 \times \left(48 + \frac{11}{3}\right) = 72 \times \frac{144 + 11}{3} = 72 \times \frac{155}{3} = 24 \times 155 = 3720$$ **Respuesta final:** $$\boxed{3720}$$