1. **Enunciado do problema:** Considere o polinómio $$P(x) = ax^3 - 12x^2 - 12x + b$$ com $$a,b \in \mathbb{R}$$. Sabe-se que $$P(x)$$ é divisível por $$x^2 - 4$$. 2. **Parte (a): Mostrar que $$P(x) = 3(x^2 - 4)(x - 4)$$** - Como $$P(x)$$ é divisível por $$x^2 - 4 = (x-2)(x+2)$$, então $$P(x) = (x^2 - 4)(cx + d)$$ para alguns $$c,d \in \mathbb{R}$$. - Expandindo: $$P(x) = (x^2 - 4)(cx + d) = cx^3 + dx^2 - 4cx - 4d$$ - Comparando com $$P(x) = ax^3 - 12x^2 - 12x + b$$ temos o sistema: $$\begin{cases} a = c \\ -12 = d \\ -12 = -4c \\ b = -4d \end{cases}$$ - Da terceira equação: $$-12 = -4c \implies c = 3$$ - Da segunda: $$d = -12$$ - Da primeira: $$a = c = 3$$ - Da quarta: $$b = -4d = -4(-12) = 48$$ - Logo: $$P(x) = 3x^3 - 12x^2 - 12x + 48 = 3(x^2 - 4)(x - 4)$$ 3. **Parte (b): Resolver a inequação $$P(x) \times B(x) \geq 0$$** - Sabemos que $$B(x)$$ tem raízes $$-2$$ e $$4$$ e que $$B(x) \leq 0 \iff x \in [-2,4]$$. - Isso implica que $$B(x)$$ é negativo ou zero no intervalo $$[-2,4]$$ e positivo fora dele. - Como $$P(x) = 3(x^2 - 4)(x - 4) = 3(x-2)(x+2)(x-4)$$, as raízes de $$P(x)$$ são $$-2, 2, 4$$. - Vamos analisar o sinal de $$P(x)$$ em cada intervalo determinado pelas raízes $$-2, 2, 4$$: - Para $$x < -2$$: $$x-2 < 0, x+2 < 0, x-4 < 0$$ Produto dos sinais: $$(-)(-)(-) = -$$ - Para $$-2 < x < 2$$: $$x-2 < 0, x+2 > 0, x-4 < 0$$ Produto: $$(-)(+)(-) = +$$ - Para $$2 < x < 4$$: $$x-2 > 0, x+2 > 0, x-4 < 0$$ Produto: $$(+)(+)(-) = -$$ - Para $$x > 4$$: $$x-2 > 0, x+2 > 0, x-4 > 0$$ Produto: $$(+)(+)(+) = +$$ - Agora, $$B(x) \leq 0$$ em $$[-2,4]$$ e $$B(x) > 0$$ fora desse intervalo. - Queremos $$P(x) \times B(x) \geq 0$$. - Analisando os intervalos: - $$x < -2$$: $$P(x) < 0$$ e $$B(x) > 0$$, produto $$< 0$$ (não satisfaz) - $$-2 \leq x \leq 4$$: $$B(x) \leq 0$$ - $$-2 < x < 2$$: $$P(x) > 0$$, $$B(x) < 0$$, produto $$< 0$$ (não satisfaz) - $$2 < x < 4$$: $$P(x) < 0$$, $$B(x) < 0$$, produto $$> 0$$ (satisfaz) - Nos pontos $$x = -2, 4$$, $$P(x) = 0$$ ou $$B(x) = 0$$, produto $$= 0$$ (satisfaz) - $$x > 4$$: $$P(x) > 0$$, $$B(x) > 0$$, produto $$> 0$$ (satisfaz) - Portanto, o conjunto solução é: $$[-2] \cup [2,4] \cup [4, +\infty) = [-2] \cup [2, +\infty)$$ - Como $$-2$$ é um ponto isolado onde o produto é zero, e $$4$$ está incluído, podemos escrever: $$\boxed{\{ -2 \} \cup [2, +\infty)}$$ Ou, em notação de intervalos: $$\boxed{\{-2\} \cup [2, \infty)}$$