1. **Planteamiento del problema:** Se nos pide calcular las expresiones polinómicas dadas: d) $R(x) + T(x) - U(x)$ e) $Q(x) + T(x) - U(x)$ 2. **Definición de los polinomios:** - $U(x) = (x^4 - 2x^3 + 3x - 10)^2$ - $T(x) = 3x^2 + 2x + 5x + 3$ - $R(x) = x^3 - 2x^2 + x - 2$ - $Q(x)$ no está explícito, pero por la parte e) parece que es $4x + 3x + 2x^3 + x + 10$ o similar, se usará la expresión dada en e). 3. **Simplificación de $T(x)$:** $$T(x) = 3x^2 + 2x + 5x + 3 = 3x^2 + (2x + 5x) + 3 = 3x^2 + 7x + 3$$ 4. **Expansión de $U(x)$:** Primero simplificamos el polinomio dentro del cuadrado: $$x^4 - 2x^3 + 3x - 10$$ Ahora expandimos el cuadrado: $$U(x) = (x^4 - 2x^3 + 3x - 10)^2$$ Usamos la fórmula $(a+b+c+d)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + d^2 + 2(ab + ac + ad + bc + bd + cd)$ donde $a = x^4$, $b = -2x^3$, $c = 3x$, $d = -10$. Calculamos cada término: - $a^2 = (x^4)^2 = x^8$ - $b^2 = (-2x^3)^2 = 4x^6$ - $c^2 = (3x)^2 = 9x^2$ - $d^2 = (-10)^2 = 100$ Los productos dobles: - $2ab = 2(x^4)(-2x^3) = -4x^7$ - $2ac = 2(x^4)(3x) = 6x^5$ - $2ad = 2(x^4)(-10) = -20x^4$ - $2bc = 2(-2x^3)(3x) = -12x^4$ - $2bd = 2(-2x^3)(-10) = 40x^3$ - $2cd = 2(3x)(-10) = -60x$ Sumamos todos: $$U(x) = x^8 + 4x^6 + 9x^2 + 100 - 4x^7 + 6x^5 - 20x^4 - 12x^4 + 40x^3 - 60x$$ Simplificamos términos semejantes: $$U(x) = x^8 - 4x^7 + 4x^6 + 6x^5 - 32x^4 + 40x^3 + 9x^2 - 60x + 100$$ 5. **Simplificación de $R(x) + T(x)$:** $$R(x) + T(x) = (x^3 - 2x^2 + x - 2) + (3x^2 + 7x + 3)$$ Sumamos términos semejantes: - $x^3$ - $-2x^2 + 3x^2 = x^2$ - $x + 7x = 8x$ - $-2 + 3 = 1$ Entonces: $$R(x) + T(x) = x^3 + x^2 + 8x + 1$$ 6. **Cálculo de d) $R(x) + T(x) - U(x)$:** $$R(x) + T(x) - U(x) = (x^3 + x^2 + 8x + 1) - (x^8 - 4x^7 + 4x^6 + 6x^5 - 32x^4 + 40x^3 + 9x^2 - 60x + 100)$$ Distribuimos el signo menos: $$= x^3 + x^2 + 8x + 1 - x^8 + 4x^7 - 4x^6 - 6x^5 + 32x^4 - 40x^3 - 9x^2 + 60x - 100$$ Agrupamos términos semejantes: - $-x^8$ - $+4x^7$ - $-4x^6$ - $-6x^5$ - $+32x^4$ - $x^3 - 40x^3 = -39x^3$ - $x^2 - 9x^2 = -8x^2$ - $8x + 60x = 68x$ - $1 - 100 = -99$ Resultado final: $$R(x) + T(x) - U(x) = -x^8 + 4x^7 - 4x^6 - 6x^5 + 32x^4 - 39x^3 - 8x^2 + 68x - 99$$ 7. **Simplificación de $Q(x)$ y $T(x)$ para e):** Según el enunciado: - $Q(x) = 4x + 3x + 2x^3 + x + 10$ Sumamos términos semejantes: - $2x^3$ - $4x + 3x + x = 8x$ - $+10$ Entonces: $$Q(x) = 2x^3 + 8x + 10$$ Ya tenemos $T(x) = 3x^2 + 7x + 3$ y $U(x)$ como antes. 8. **Cálculo de e) $Q(x) + T(x) - U(x)$:** Sumamos $Q(x) + T(x)$: $$2x^3 + 8x + 10 + 3x^2 + 7x + 3 = 2x^3 + 3x^2 + (8x + 7x) + (10 + 3) = 2x^3 + 3x^2 + 15x + 13$$ Ahora restamos $U(x)$: $$Q(x) + T(x) - U(x) = (2x^3 + 3x^2 + 15x + 13) - (x^8 - 4x^7 + 4x^6 + 6x^5 - 32x^4 + 40x^3 + 9x^2 - 60x + 100)$$ Distribuimos el signo menos: $$= 2x^3 + 3x^2 + 15x + 13 - x^8 + 4x^7 - 4x^6 - 6x^5 + 32x^4 - 40x^3 - 9x^2 + 60x - 100$$ Agrupamos términos semejantes: - $-x^8$ - $+4x^7$ - $-4x^6$ - $-6x^5$ - $+32x^4$ - $2x^3 - 40x^3 = -38x^3$ - $3x^2 - 9x^2 = -6x^2$ - $15x + 60x = 75x$ - $13 - 100 = -87$ Resultado final: $$Q(x) + T(x) - U(x) = -x^8 + 4x^7 - 4x^6 - 6x^5 + 32x^4 - 38x^3 - 6x^2 + 75x - 87$$