1) Dados los polinomios $$P(x) = 7x^2 + 15x - 23x^4 - 52 + 42x^3 + 0$$ $$Q(x) = 3x - 2$$ $$R(x) = 5x - 1$$ **Problema 1:** Multiplicar $P(x)$ por $Q(x)$ y $P(x)$ por $R(x)$. **Paso 1:** Ordenar $P(x)$ por potencias decrecientes para facilitar la multiplicación: $$P(x) = -23x^4 + 42x^3 + 7x^2 + 15x - 52$$ **Paso 2:** Multiplicar $P(x)$ por $Q(x) = 3x - 2$ usando la propiedad distributiva: $$P(x) \cdot Q(x) = P(x) \cdot (3x) - P(x) \cdot 2$$ Multiplicamos término a término: $$P(x) \cdot 3x = (-23x^4)(3x) + (42x^3)(3x) + (7x^2)(3x) + (15x)(3x) + (-52)(3x)$$ $$= -69x^5 + 126x^4 + 21x^3 + 45x^2 - 156x$$ $$P(x) \cdot 2 = (-23x^4)(2) + (42x^3)(2) + (7x^2)(2) + (15x)(2) + (-52)(2)$$ $$= -46x^4 + 84x^3 + 14x^2 + 30x - 104$$ Entonces: $$P(x) \cdot Q(x) = (-69x^5 + 126x^4 + 21x^3 + 45x^2 - 156x) - (-46x^4 + 84x^3 + 14x^2 + 30x - 104)$$ Simplificamos sumando los términos semejantes: $$= -69x^5 + (126x^4 - 46x^4) + (21x^3 - 84x^3) + (45x^2 - 14x^2) + (-156x - 30x) + 104$$ $$= -69x^5 + 80x^4 - 63x^3 + 31x^2 - 186x + 104$$ **Paso 3:** Multiplicar $P(x)$ por $R(x) = 5x - 1$ de forma similar: $$P(x) \cdot R(x) = P(x) \cdot 5x - P(x) \cdot 1$$ Multiplicamos término a término: $$P(x) \cdot 5x = (-23x^4)(5x) + (42x^3)(5x) + (7x^2)(5x) + (15x)(5x) + (-52)(5x)$$ $$= -115x^5 + 210x^4 + 35x^3 + 75x^2 - 260x$$ $$P(x) \cdot 1 = P(x) = -23x^4 + 42x^3 + 7x^2 + 15x - 52$$ Entonces: $$P(x) \cdot R(x) = (-115x^5 + 210x^4 + 35x^3 + 75x^2 - 260x) - (-23x^4 + 42x^3 + 7x^2 + 15x - 52)$$ Simplificamos: $$= -115x^5 + (210x^4 + 23x^4) + (35x^3 - 42x^3) + (75x^2 - 7x^2) + (-260x - 15x) + 52$$ $$= -115x^5 + 233x^4 - 7x^3 + 68x^2 - 275x + 52$$ 2) Dados los polinomios $$M(x) = 7x - 12x^5 - 4x^2 + 21x^3 - 15x^4 - 20$$ $$R(x) = x + 2$$ $$S(x) = x - 3$$ **Problema 2:** Dividir $M(x)$ entre $R(x)$ y $M(x)$ entre $S(x)$. **Paso 1:** Ordenar $M(x)$ por potencias decrecientes: $$M(x) = -12x^5 - 15x^4 + 21x^3 - 4x^2 + 7x - 20$$ **Paso 2:** Dividir $M(x)$ entre $R(x) = x + 2$ usando división larga de polinomios. Dividimos el término líder: $$\frac{-12x^5}{x} = -12x^4$$ Multiplicamos $-12x^4(x + 2) = -12x^5 - 24x^4$ Restamos: $$(-12x^5 - 15x^4) - (-12x^5 - 24x^4) = 0 + 9x^4$$ Bajamos $+21x^3$: Nuevo polinomio: $9x^4 + 21x^3$ Dividimos: $$\frac{9x^4}{x} = 9x^3$$ Multiplicamos: $$9x^3(x + 2) = 9x^4 + 18x^3$$ Restamos: $$(9x^4 + 21x^3) - (9x^4 + 18x^3) = 0 + 3x^3$$ Bajamos $-4x^2$: Nuevo polinomio: $3x^3 - 4x^2$ Dividimos: $$\frac{3x^3}{x} = 3x^2$$ Multiplicamos: $$3x^2(x + 2) = 3x^3 + 6x^2$$ Restamos: $$(3x^3 - 4x^2) - (3x^3 + 6x^2) = 0 - 10x^2$$ Bajamos $+7x$: Nuevo polinomio: $-10x^2 + 7x$ Dividimos: $$\frac{-10x^2}{x} = -10x$$ Multiplicamos: $$-10x(x + 2) = -10x^2 - 20x$$ Restamos: $$( -10x^2 + 7x) - (-10x^2 - 20x) = 0 + 27x$$ Bajamos $-20$: Nuevo polinomio: $27x - 20$ Dividimos: $$\frac{27x}{x} = 27$$ Multiplicamos: $$27(x + 2) = 27x + 54$$ Restamos: $$(27x - 20) - (27x + 54) = 0 - 74 = -74$$ **Resultado:** Cociente: $$-12x^4 + 9x^3 + 3x^2 - 10x + 27$$ Residuo: $$-74$$ **Paso 3:** Dividir $M(x)$ entre $S(x) = x - 3$ usando división larga similar. Dividimos término líder: $$\frac{-12x^5}{x} = -12x^4$$ Multiplicamos: $$-12x^4(x - 3) = -12x^5 + 36x^4$$ Restamos: $$(-12x^5 - 15x^4) - (-12x^5 + 36x^4) = 0 - 51x^4$$ Bajamos $+21x^3$: Nuevo polinomio: $-51x^4 + 21x^3$ Dividimos: $$\frac{-51x^4}{x} = -51x^3$$ Multiplicamos: $$-51x^3(x - 3) = -51x^4 + 153x^3$$ Restamos: $$(-51x^4 + 21x^3) - (-51x^4 + 153x^3) = 0 - 132x^3$$ Bajamos $-4x^2$: Nuevo polinomio: $-132x^3 - 4x^2$ Dividimos: $$\frac{-132x^3}{x} = -132x^2$$ Multiplicamos: $$-132x^2(x - 3) = -132x^3 + 396x^2$$ Restamos: $$(-132x^3 - 4x^2) - (-132x^3 + 396x^2) = 0 - 400x^2$$ Bajamos $+7x$: Nuevo polinomio: $-400x^2 + 7x$ Dividimos: $$\frac{-400x^2}{x} = -400x$$ Multiplicamos: $$-400x(x - 3) = -400x^2 + 1200x$$ Restamos: $$(-400x^2 + 7x) - (-400x^2 + 1200x) = 0 - 1193x$$ Bajamos $-20$: Nuevo polinomio: $-1193x - 20$ Dividimos: $$\frac{-1193x}{x} = -1193$$ Multiplicamos: $$-1193(x - 3) = -1193x + 3579$$ Restamos: $$(-1193x - 20) - (-1193x + 3579) = 0 - 3599 = -3599$$ **Resultado:** Cociente: $$-12x^4 - 51x^3 - 132x^2 - 400x - 1193$$ Residuo: $$-3599$$